[論文レビュー] The Stack of Rational Nodal Curves

Damiano Fulghesu|ArXiv.org|Jan 9, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有理ノード曲線のモジュライスタック M₀ を構成し、それが双対グラフ Γ によってインデックス付けられた滑らかで商スタックである部分スタック MΓ₀ に層化可能であることを証明する。これにより、Kresch の理論を適用してチャウ環を定義できる。主な貢献は、3個までのノードをもつ有理曲線の部分スタック M₀≤3 の有理チャウ環を、10個の生成子（タウトロジカルクラスと標準的な Mumford κ-クラスを超える新しいクラスを含む）による表示を用いて確立することにある。

ABSTRACT

In this series of three papers we start to investigate the rational Chow ring of the stack consisting of nodal curves of genus 0, in particular we determine completely the rational Chow ring of the substack consisting of curves with at most 3 nodes. In this first paper we construct the stack of rational nodal curves and its stratification by nodes and show that the map from the universal curve to the stack is not representable in the category of schemes.

研究の動機と目的

• 複素スキーム上のアーティンスタックとして、有理ノード曲線のモジュライスタック M₀ を構成すること。
• 有理ノード曲線の双対グラフ Γ を用いて M₀ を位相的型で層化し、各層 MΓ₀ が滑らかで商スタックであることを示すこと。
• ユニバーサル曲線の射が代表可能でないにもかかわらず、M₀ 上にチャウ環を定義するための枠組みを確立すること。
• 有理曲線が3個までのノードをもつ部分スタック M₀≤3 の有理チャウ環を計算する基盤を築くこと。

提案手法

• h⁰ = 1 かつ h¹ = 0 を満たす、スキーム上の平坦かつ固有で、有限表示なノード曲線の族のカテゴリを用いてスタック M₀ を定義する。
• 有理ノード曲線の双対グラフ Γ によって M₀ を層化し、各層 MΓ₀ が滑らかで商スタックであることを示す。
• Kresch のアーティンスタックのチャウ環理論を適用し、層化を用いて A*(M₀) を定義する。
• 同等の交差理論と Edidin-Graham、Kresch の研究を用いて、代表可能でない射を扱う。
• 双対グラフを用いて曲線の自己同型群を分析し、Δ₁ 個の1ノードをもつ成分と Δ₂ 個の2ノードをもつ成分をもつ曲線について、Aut(C) ≅ Aut(Γ) ⋉ (Gₘ)^Δ₂ × E^Δ₁ が成り立つことを示す。
• M₀≤3 上で π*ω∨C/T が階数3の局所自由層であることを証明し、双対化バンドルの定義を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理ノード曲線のモジュライスタック M₀ は、双対グラフでインデックス付けられた滑らかで商スタックに層化可能か？
• RQ2 ユニバーサル曲線の射が代表可能でないにもかかわらず、M₀ 上に有理チャウ環をどのように定義できるか？
• RQ3 有理曲線が3個までのノードをもつとき、有理チャウ環 A*(M₀≤3) ⊗ ℚ の構造はどのようなものか？
• RQ4 標準的な Mumford クラス κᵢ を超える、A*(M₀≤3) に新たなタウトロジカルクラスが存在するか？
• RQ5 n ≥ 2 に対して M₀≤n は商スタックか、特に n = 3 の場合にそうか？

主な発見

• 有理ノード曲線のスタック M₀ はアーティンスタックであり、その幾何的点は有理ツリー（P¹ 成分からなり、サイクルのない連結ノード曲線）である。
• ユニバーサル曲線の射 C → M₀ はスキームの圏において代表可能でない。これはヒロナカの三重曲面を用いた反例によって示される。
• 双対グラフ Γ に対応する各層 MΓ₀ は、形式 B(Aut(Γ) ⋉ (Gₘ)^Δ₂ × E^Δ₁) の滑らかで商スタックである。
• M₀≤3 上で、層 π*ω∨C/T は階数3の局所自由層であり、基底変換と可換に形成されるため、双対化バンドルを定義できる。
• 有理チャウ環 A*(M₀≤3) ⊗ ℚ は10個の生成子による表示を持つ：≤3ノードをもつ曲線の位相的型に対応する5つの生成子、Mumford クラス κ₂、および従来の安定曲線のタウトロジカル環に現れなかった4つの新しいクラス。
• MΓ₀ 上の正規バンドル Nin は、1次変形の空間を自己同型群で割った商と同型であり、NΓ = ⊕_{P∈E(Γ)} TP(Cα) ⊗ TP(Cβ) と表せる。