[論文レビュー] The Standard Model Algebra

Ovidiu Cristinel Stoica|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、余分な粒子を必要とせず、レプトン、クォーク、電弱および色ゲージ対称性を自然に符号化する、Clifford代数 𝕜ℓ₆ を用いた幾何代数的定式化を提案する。ディラックおよび弱い相互作用の生成子から生じる 𝕜ℓ₆ の1つの同型的実装と、色対称性から生じるもう1つの同型的実装を特定することにより、素粒子と対称性を幾何学的に統一する。このモデルにより、裸の Weinberg 角 sin²θ_W = 0.25 が導かれる。

ABSTRACT

A simple geometric algebra is shown to contain automatically the leptons and quarks of a family of the Standard Model, and the electroweak and color gauge symmetries, without predicting extra particles and symmetries. The algebra is already naturally present in the Standard Model, in two instances of the Clifford algebra $\mathbb{C}\ell_6$, one being algebraically generated by the Dirac algebra and the weak symmetry generators, and the other by a complex three-dimensional representation of the color symmetry, which generates a Witt decomposition which leads to the decomposition of the algebra into ideals representing leptons and quarks. The two instances being isomorphic, the minimal approach is to identify them, resulting in the model proposed here. The Dirac and Lorentz algebras appear naturally as subalgebras acting on the ideals representing leptons and quarks. The resulting representations on the ideals are invariant to the electromagnetic and color symmetries, which are generated by the bivectors of the algebra. The electroweak symmetry is also present, and it is already broken by the geometry of the algebra. The model predicts a bare Weinberg angle $ heta_W$ given by $\sin^2 heta_W=0.25$. The model shares common ideas with previously known models, particularly with Chisholm and Farwell, 1996, Trayling and Baylis, 2004, and Furey, 2016.

研究の動機と目的

• 標準模型のレプトン、クォーク、ゲージ対称性が、単一の幾何代数的構造から自然に出現することを示すこと。
• フェルミオンとゲージ対称性の背後にある数学的枠組みとして、Clifford代数 𝕜ℓ₆ の2つの同型的実装を特定すること。
• 電弱対称性が幾何学的に破れ、Weinberg 角が sin²θ_W = 0.25 として予測されることを示すこと。
• ディラック代数とローレンツ代数を、レプトンとクォークを表すイデアルに作用する部分代数として統一すること。
• 電磁気的および色対称性が、代数内の双ベクトル生成子から生じることを確立すること。

提案手法

• 基礎的な代数的構造として、複素 Clifford 代数 𝕜ℓ₆ を用いる。
• ディラック代数および弱い相互作用の生成子から生じる 𝕜ℓ₆ の1つの実装を特定する。
• 色対称性の3次元複素表現を介して、別の 𝕜ℓ₆ 実装を特定する。
• 代数に Witt 分解を適用し、それによりレプトンとクォークを表すイデアルが得られる。
• 2つの同型的実装の 𝕜ℓ₆ を特定し、フェルミオン的およびゲージ的構造を統一する。
• 電磁気的および色対称性を、完全な代数内の双ベクトル部分代数から導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準模型の1世代分のレプトンとクォークは、単一の幾何代数的構造に自然に符号化可能か？
• RQ2 電弱および色ゲージ対称性は、𝕜ℓ₆ の代数的幾何からどのように出現するか？
• RQ3 この代数的枠組みにおいて Weinberg 角の起源は何か？また、物理的入力を用いずに予測可能か？
• RQ4 ディラック代数とローレンツ代数は、フェルミオン的イデアルに作用する部分代数としてどのように出現するか？
• RQ5 Clifford代数の実装の同型性を通じて、フェルミオン表現とゲージ対称性が幾何学的に統一可能か？

主な発見

• 幾何代数 𝕜ℓ₆ は、標準模型の1世代分のレプトンとクォークを、代数内のイデアルとして自然に符号化する。
• 電弱および色ゲージ対称性は、代数内の双ベクトルから生成される部分代数として出現する。
• ディラック代数とローレンツ代数は、フェルミオン的イデアルに作用する部分代数として現れ、その構造を保存する。
• 電弱対称性は幾何学的に破れ、この定式化では外部のヒッグス機構を必要としない。
• モデルは、裸の Weinberg 角 sin²θ_W = 0.25 を予測し、代数の幾何的構造と整合的である。
• 本モデルは、Chisholm と Farwell (1996)、Trayling と Baylis (2004)、Furey (2016) の先行研究の基本的アイデアを共有するとともに、統一的な代数的枠組みを提供する。