[論文レビュー] The Standard Model Algebra - Leptons, Quarks, and Gauge from the Complex Clifford Algebra Cl6

Ovidiu Cristinel Stoica|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 30被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、複素クリフォード代数 𝕔ℓ₆ を用いて、標準模型のレプトン、クォーク、ゲージ対称性を幾何学的に統一することを提案する。ディラック代数と弱い対称性が自然に 𝕔ℓ₆ に拡張されることを示し、これは左ラハンドと右ラハンドのフェルミオンを表すイデアルに分解される。モデルは余分な粒子や対称性を導入せずに、真の Weinberg 角 sin²θ_W = 0.25 を予測する。

ABSTRACT

A simple geometric algebra is shown to contain automatically the leptons and quarks of a family of the Standard Model, and the electroweak and color gauge symmetries, without predicting extra particles and symmetries. The algebra is already naturally present in the Standard Model, in two instances of the Clifford algebra $\mathbb{C}\ell_6$, one being algebraically generated by the Dirac algebra and the weak symmetry generators, and the other by a complex three-dimensional representation of the color symmetry, which generates a Witt decomposition which leads to the decomposition of the algebra into ideals representing leptons and quarks. The two instances being isomorphic, the minimal approach is to identify them, resulting in the model proposed here. The Dirac and Lorentz algebras appear naturally as subalgebras acting on the ideals representing leptons and quarks. The resulting representations on the ideals are invariant to the electromagnetic and color symmetries, which are generated by the bivectors of the algebra. The electroweak symmetry is also present, and it is already broken by the geometry of the algebra. The model predicts a bare Weinberg angle $θ_W$ given by $\sin^2θ_W=0.25$. The model shares common ideas with previously known models, particularly with Chisholm and Farwell, 1996, Trayling and Baylis, 2004, and Furey, 2016.

研究の動機と目的

• 標準模型のフェルミオンとゲージ対称性を、一つの幾何的代数枠組み内で統一すること。
• ディラック代数と弱いアイソスピン対称性が自然に複素クリフォード代数 𝕔ℓ₆ に拡張されることを示すこと。
• 代数的構造 𝕔ℓ₆ が自然にレプトンとクォークを表すイデアルに分解されることを示すこと。
• 電弱対称性と色対称性を、これらのイデアル上に作用する双ベクトル部分代数として導出すること。
• 余分な粒子や対称性を導入せずに、真の Weinberg 角の特定の値を予測すること。

提案手法

• 基本的な代数的構造として複素クリフォード代数 𝕔ℓ₆ を用い、弱いアイソスピン生成子を介してディラック代数 𝕔ℓ₄ の逐次的拡張から導出する。
• collider 代数 𝕔ℓ₆ の偶数部分代数がディラック代数およびローレンツ代数と同型であり、それらを自然に埋め込む。
• collider 代数 𝕔ℓ₆ の Witt 分解を適用して、代数を二つのイデアルに分割し、一方をレプトン、他方をクォークが表す。
• 電弱対称性を代数内の双ベクトルから構成し、弱いアイソスピン生成子 T₁, T₂, T₃ が代数を 𝕔ℓ₆ に拡張する。
• 行列表現 τʲ = σʲ ⊗ 1₄ および ωʲ = τʲΓ⁵ を用いて、 collider 代数 𝕔ℓ₅ および 𝕔ℓ₆ の完全なクリフォード基底を生成する。
• collider 代数 𝕔ℓ₆ の体積形式が −iτ³ であることを示し、代数的構造と物理的真空状態を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準模型の全構造—フェルミオンとゲージ対称性—を、一つの幾何的代数枠組みに統一できるか？
• RQ2 ディラック代数と弱いアイソスピン対称性が、どのように自然に複素クリフォード代数 𝕔ℓ₆ に至るか？
• RQ3 collider 代数 𝕔ℓ₆ の代数的分解が、自然に観測されたレプトンとクォークの粒子内容を生じるか？
• RQ4 電弱対称性と色対称性を、 collider 代数 𝕔ℓ₆ 内の双ベクトル部分代数として導出できるか？
• RQ5 Weinberg 角の幾何的起源は何か？そして、物性論的入力を用いずに予測可能か？

主な発見

• 複素クリフォード代数 𝕔ℓ₆ は、フェルミオンのイデアル上に作用するディラック代数およびローレンツ代数を自然に含む。
• Witt 分解を介して代数が二つのイデアルに分解され、一方がレプトン、他方がクォークに対応し、余分な粒子は導入されない。
• 電弱対称性は代数内の双ベクトルから生成され、弱い対称性は代数の幾何的構造によって既に破れている。
• 電磁気的および色対称性は、 collider 代数 𝕔ℓ₆ の双ベクトル部分代数の作用に対して不変である。
• モデルは、代数的構造から純粋に導かれた sin²θ_W = 0.25 の真の Weinberg 角を予測する。
• モデルは Chisholm & Farwell (1996)、Trayling & Baylis (2004)、Furey (2016) が以前に提案したモデルと同型であるが、より幾何的かつ統一的な基盤を有する。