[論文レビュー] The Standard Model, The Exceptional Jordan Algebra, and Triality

Latham Boyle|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 34

ひとこと要約

本論文は複素化された特異 Jordan代数 h3C(O) を Standard Model、左-右対称拡張、および Spin(10) に結びつけ、フェルミオンの含有量が複素オクタノン射影平面の接空間として現れると主張し、三世代は SO(8) triality に結びつく。

ABSTRACT

Jordan, Wigner and von Neumann classified the possible algebras of quantum mechanical observables, and found they fell into 4 "ordinary" families, plus one remarkable outlier: the exceptional Jordan algebra. We point out an intriguing relationship between the complexification of this algebra and the standard model of particle physics, its minimal left-right-symmetric $SU(3) imes SU(2)_{L} imes SU(2)_{R} imes U(1)$ extension, and $Spin(10)$ unification. This suggests a geometric interpretation, where a single generation of standard model fermions is described by the tangent space $(\mathbb{C}\otimes\mathbb{O})^{2}$ of the complex octonionic projective plane, and the existence of three generations is related to $SO(8)$ triality.

研究の動機と目的

• 標準模型のゲージ群が特異代数的構造から生じうる理由を動機づける。
• 特異 Jordan代数の複素化が G_SM および rho_SM を左-右対称フレームワークに自然に埋め込むことを提案する。
• 標準模型のフェルミオンを複素オクタノニック射影平面の接空間として幾何学的に解釈し、世代を triality に関連づける。

提案手法

• Euclidean Jordan代数の Jordan–Wigner–von Neumann 分類と特異な h3(O) の役割を概観する。
• 複素化 h3C(O) を導入し、E6 内の tilde{H}_1 および tilde{H}_2 を F4 の H1 および H2 に対応するように定義する。
• LR対称ゲージ群 G_LR を tilde{H}_1 ∩ tilde{H}_2 の交差として同定し、それが [SU(3)×SU(2)_L×SU(2)_R×U(1)]/Z6 に等しいことを示す。
• E6 の 27 表現と Spin(10) による分解を説明し、1世代のフェルミオン成分を形成する 16 が G_LR に制限したときに現れ、 rho_LR を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素化 h3C(O) は Standard Model のゲージ群とフェルミオン表現の自然な埋め込みを提供し得るか。
• RQ2 tilde{H}_1 ∩ tilde{H}_2 の交差は G_LR と rho_LR の表現を再現し、LR 対称統一の幾何学的起源を提供するか。
• RQ3 SO(8) の triality を三つのフェルミオン世代の存在と結びつける幾何学的機構はあるか。
• RQ4 マジックスクエアがSMフェルミオンを複素オクタノニック射影平面の接空間として再解釈する方法はどうか。

主な発見

• E6 における tilde{H}_1 ∩ tilde{H}_2 は LR ゲージ群 G_LR、[SU(3)×SU(2)_L×SU(2)_R×U(1)]/Z6 と等しい。
• E6 の 27 は Spin(10) の下で 1⊕10⊕16 に分解され、16 が G_LR へ制限したときに LR フェルミオン成分を形成する。
• LR 群の下で、16 は (3,2,1,+1/6)⊕(3̄,1,2,−1/6)⊕(1,2,1,−1/2)⊕(1,1,2,+1/2) に分解され、提案された LR フェルミオン表現 ρ_LR と一致する。
• 複素オクタノニック射影平面 (C⊗O)P^2 の接空間、すなわち (C⊗O)^2 は Spin(10) の 16 および適切な制限下で LR および SM 表現を与える。
• この枠組みは三世代の概念を SO(8) triality と E6 の magic-square の視点に結びつけ、世代構造の幾何学的起源を示唆する。