[論文レビュー] The star sequence and the general first Zagreb index

Leonid Bedratyuk, Олег Савенко|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2017

Graph theory and applications被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、グラフのスターリング数 $S_k = K_{1,k}$ に同型な部分グラフの数を数えるスターリング数列を導入し、頂点次数分布（頻度列）との双対性を確立する。一般化第一Zagreb指標 $Z_p(G)$ について、第二種スターリング数を用いて閉形式の式を導出し、$Z_p(G) = 2S_1(G) + \sum_{i=2}^p i! \left\{{p \atop i}\right\} S_i(G)$ が得られる。また、$Z_p(G)$ の母関数と線形再帰式を導出し、ハンドシェイキング補題を一般化する。

ABSTRACT

For a simple graph, we introduce a notion of the star sequence and prove that the star sequence and the frequently sequences of a graph are inverses of each other from a combinatorial point of view. As a consequence, we express the general first Zagreb index in terms of the star sequence. Also, we calculate the ordinary generating function and find a linear recurrence relation for the sequence of the general first Zagreb indexes.

研究の動機と目的

• スターリング数列 $S_k(G)$ を定義し、$S_k = K_{1,k}$ に同型な部分グラフの数として形式化すること。
• スターリング数列と頻度列（頂点次数分布）との間の組合せ的双対性を確立すること。
• 第二種スターリング数を用いて、一般化第一Zagreb指標 $Z_p(G)$ をスターリング数列で表現すること。
• 列 $\{Z_p(G)\}$ の通常母関数と線形再帰式を導出すること。

提案手法

• スターリング数列 $S_k(G)$ を、$G$ に含まれる $K_{1,k}$-部分グラフの数として定義する。
• 包含除算法を用いて、スターリング数列を頻度列 $f_i$（次数 $i$ の頂点の数）と関係付ける。
• 恒等式 $\sum_{i=1}^k i^p (-1)^{k-i} \binom{k}{i} = k! \left\{{p \atop k}\right\}$ を適用し、$Z_p(G) = \sum_i i^p f_i$ を $S_k(G)$ で表現する。
• 第二種スターリング数の既知の母関数を用いて、通常母関数 $\mathcal{G}(Z,t) = \sum_p Z_p(G) t^p$ を導出する。
• 母関数の性質と符号付き第一種スターリング数を用いて、$Z_p(G)$ の線形再帰式を導出する。
• 母関数の有理型表現を活用し、$p \geq n$ に対して $Z_p(G) + \sum_{i=1}^n \left[{p+1 \atop p+1-i}\right] Z_{p-i}(G) = 0$ の再帰式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化第一Zagreb指標 $Z_p(G)$ をスターリング数列 $S_k(G)$ でどのように表現できるか？
• RQ2 スターリング数列とグラフの頻度列との間の組合せ的関係は何か？
• RQ3 列 $\{Z_p(G)\}$ の通常母関数は何か？
• RQ4 列 $\{Z_p(G)\}$ が満たす線形再帰関係式は存在するか？
• RQ5 新しい $Z_p(G)$ の公式は、ハンドシェイキング補題をどのように一般化するか？

主な発見

• 一般化第一Zagreb指標は $Z_p(G) = 2S_1(G) + \sum_{i=2}^p i! \left\{{p \atop i}\right\} S_i(G)$ で与えられ、ここで $\left\{{p \atop i}\right\}$ は第二種スターリング数である。
• スターリング数列と頻度列は逆の組合せ的列である：$f_i = \sum_{k=i}^{n-1} (-1)^{k-i} \binom{k}{i} S_k(G)$ および $S_k(G) = \sum_{i=k}^{n-1} \binom{i}{k} f_i$。
• 列 $\{Z_p(G)\}$ の通常母関数は $\mathcal{G}(Z,t) = \frac{\sum_{k=0}^{n-1} \left( \sum_{i=0}^k \left[{n+1 \atop n+1-(k-i)}\right] Z_i(G) \right) t^k}{(1-t)(1-2t)\cdots(1-nt)}$ である。
• 列 $\{Z_p(G)\}$ は、すべての $p \geq n$ に対して線形再帰式 $Z_p(G) + \sum_{i=1}^n \left[{p+1 \atop p+1-i}\right] Z_{p-i}(G) = 0$ を満たす。ここで $\left[{p \atop i}\right]$ は符号付き第一種スターリング数である。
• $Z_p(G)$ の公式はハンドシェイキング補題を一般化する：$Z_1(G) = 2m = 2S_1(G)$ であり、$Z_2(G) = 2S_1(G) + 2S_2(G)$ である。
• スターリング数列と頻度列の双対性の結果として、恒等式 $\sum_{uv \in E(G)} \left( \frac{1}{d_u} + \frac{1}{d_v} \right) = S_1(G) + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{i-1} S_i(G)$ が導出される。