[論文レビュー] The Stark effect in the Bohr-Sommerfeld theory and in Schrödinger's wave mechanics

Anthony Duncan, Michel Janssen|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 26被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、旧量子論（ボーア＝ソムマーフェルト）とシュレーディンガーの波動力学におけるストロッホ効果の取り扱いを比較し、旧理論が便宜的な仮定を通じて定性的に成功をおさめた一方で、波動力学は任意の規則を必要とせず、一意的かつ数学的に整合性のある解を提供し、第一原理からエネルギー準位、遷移強度、偏光を正確に予測できることを示している。

ABSTRACT

The explanation of the first-order Stark effect in hydrogen by Epstein and Schwarzschild in 1916 was seen as a great success for the old quantum theory. Yet, it also revealed some serious limitations of the theory. To recover the experimentally found line splittings, one had to make some arbitrary assumptions in addition to the basic quantum conditions to rule out certain orbits. The calculation of intensities of lines on the basis of Bohr's correspondence principle likewise required arbitrary additional assumptions. Finally, the actual orbits predicted by the old quantum theory depend on the coordinates chosen to impose the quantum conditions. Both Sommerfeld and Epstein recognized this problem but offered no solution for it. All these problems were solved in 1926 when Schrödinger and Epstein explained the Stark effect on the basis of the new wave mechanics. The calculations in the two theories are similar. In particular, both the Schrödinger equation in the new theory and the Hamilton-Jacobi equation in the old theory are separated in parabolic coordinates. The new quantum mechanics determines all allowed states and transitions without any additional assumptions. It also replaced the ambiguous guidelines based on the correspondence principle for calculating intensities by the straightforward prescription that intensities are given by the squares of the matrix elements of position, leading to results that agreed much better with the experimental data. Finally, the embarrassing non-uniqueness of orbits in the old quantum theory turned into the innocuous non-uniqueness of bases of eigenfunctions in wave mechanics. To this day, the Stark effect is remembered as one of the few qualified successes of the old quantum theory. We suspect that this is largely because after 1926 it became just one of the many unqualified successes of the new quantum theory.

研究の動機と目的

• ボーア＝ソムマーフェルト原子模型におけるストロッホ効果の歴史的発展と理論的取り扱いを分析すること。
• 旧量子論によるストロッホ効果の説明に内在する制限および便宜的な仮定（特に選択則と強度計算に関するもの）を特定すること。
• シュレーディンガーの波動力学が、エネルギー準位と遷移確率のための一意的かつ任意でない枠組みを提供することで、これらの問題をどのように解決したかを示すこと。
• 旧理論における対応原理の役割と波動力学におけるより厳密な行列要素形式の対比をとること。
• ストロッホ効果が、旧量子論から新量子論への移行を評価するためのベンチマークとして果たす意義を評価すること。

提案手法

• エプスタイン（1916）、シュバルツシルト（1916）、ソムマーフェルト（1919）、シュレーディンガー（1926）のストロッホ効果に関する歴史的記述および原論文を分析する。
• ボーア＝ソムマーフェルトの量子化条件の数学的構造と、放物座標系におけるシュレーディンガー方程式の比較を行う。
• 旧理論におけるハミルトン＝ジャコビ方程式の使用と、変数分離可能な座標系における時間に依存しないシュレーディンガー方程式との同型性を検討する。
• 旧理論におけるフーリエ展開による遷移強度の取り扱いと、波動力学における行列要素による取り扱いの比較評価を行う。
• 旧理論における古典的軌道の非一意性と、波動力学における固有関数基底の非一意性の評価を行う。
• 具体的な式（例：式 (20)～(24)、(44)～(47)、(54)）を用いて、ストロッホ問題を解く際の数学的同等性と概念的差異を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボーア＝ソムマーフェルト理論はストロッホ効果をどのように説明したのか。その主な仮定と制限は何か。
• RQ2 なぜ旧量子論は、実験データとの一致を図るために、ストロッホ効果の説明において任意の選択則と追加の仮定を必要としたのか。
• RQ3 シュレーディンガーの波動力学は、旧量子論と比較して、ストロッホ効果の取り扱いにおいてどのような点でより一貫性があり、より予測可能だったのか。
• RQ4 対応原理に基づくアプローチと波動力学における行列要素法との間で、遷移強度の取り扱いはどのように根本的に異なっていたのか。
• RQ5 ストロッホ効果の解決は、旧量子論と新量子力学の相対的な長所と短所をどのように明らかにしているのか。

主な発見

• 旧量子論は、特定の軌道を除外し、実験データに一致させるために、任意の選択則を必要としていたが、波動力学と数学的に類似していた。
• 旧理論における遷移強度の計算は、曖昧な対応原理に依存しており、初期状態、最終状態、または平均化されたフーリエ展開の間で任意の選択を必要としていた。
• 波動力学は、シュレーディンガー方程式の解法によって、すべての許容される状態と遷移を一意的に決定することで、こうした便宜的な仮定を完全に排除した。
• 波動力学において、ストロッホ効果では主量子数に余分な +1 項が現れ、追加の規則なしに物理的に意味のない状態が自然に除外された。
• 波動力学は、位置演算子の行列要素の二乗を用いた明確な規定を提供し、実験データとの一致度が旧理論よりも著しく高くなった。
• 旧理論における古典的軌道の非一意性は、波動力学においては物理的予測に影響を及ぼさない無害な固有関数基底の非一意性に置き換えられた。