[論文レビュー] The Starting and Stopping Problem under Knightian Uncertainty and Related Systems of Reflected BSDEs

Saïd Hamadène, Jianfeng Zhang|ArXiv.org|Oct 4, 2007

Capital Investment and Risk Analysis参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、将来の市場動態が単一の既知の確率測度によって支配されないケルヌーイ的不確実性下での起動・停止問題に取り組み、反射確率的微分方程式系（RBSDE）を用いて最適戦略をモデル化する。2モードおよびmモード系の解の存在および一意性を確立し、不確実性下でのリアルオプション評価の厳密な枠組みを提供する。

ABSTRACT

This article deals with the starting and stopping problem under Knightian uncertainty, i.e., roughly speaking, when the probability under which the future evolves is not exactly known. We show that the lower price of a plant submitted to the decisions of starting and stopping is given by a solution of a system of two reflected backward stochastic differential equations (BSDEs for short). We solve this latter system and we give the expression of the optimal strategy. Further we consider a more general system of $m$ ($m\geq 2$) reflected BSDEs with interconnected obstacles. Once more we show existence and uniqueness of the solution of that system.

研究の動機と目的

• 将来の市場動態が一意の確率測度によって記述されないケルヌーイ的不確実性下で、リアルオプション（例：発電所）の最適管理をモデル化すること。
• 既知の確率測度を仮定する従来の2モードスイッチング問題を、複数のモード（m ≥ 2）に拡張し、不確実性下での一般化フレームワークを構築すること。
• 相互に接続された障害物を持つm個の反射BSDEの系の解の存在および一意性を確立し、複数の運用状態間のスイッチングのダイナミクスを捉えること。
• モデル不確実性下でのリアルオプションの下限価格を、ロバストなスーパーホッジング（余剰レプリカション）アプローチを用いて導出することで、不確実性下での金融的整合性を保証すること。
• ケルヌーイ的不確実性下での最適スイッチング戦略（タイミングおよびモード遷移を含む）の完全な特徴付けを提供すること。

提案手法

• 起動・停止問題をケルヌーイ的不確実性下でモデル化し、公平価格を相互に接続された障害物を持つm個の反射BSDEの解として定式化する。これにより、スイッチングコストおよび状態依存制約を表現する。
• 動的計画法とスネル包の概念を組み合わせ、不確実性下でのリアルオプションの下限価格を特徴付ける。
• 解の差に対する事前推定および事前境界を用いて、mモードRBSDE系の解の存在および一意性を証明する。
• スイッチング回数に関する再帰的議論および数学的帰納法を用い、スイッチング時における価値関数のジャンプ不連続性を制御する。
• ドーブ＝マイヤー分解を用いて、BSDEにおけるマルティンググールおよび予測可能変動部のパスワイズ一意性を保証し、制御過程の一意性を導く。
• 時刻グリッドが密になる極限において、優越収束定理を適用し、近似列の収束を示し、極限における誤差項を消去する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎となる市場動態がケルヌーイ的不確実性（確率測度が不確実）にさらされている場合、最適の起動・停止戦略はどのように特徴付けられるか？
• RQ2 モデル不確実性下での複数運用モードを有するリアルオプションの価値関数の数学的構造は何か？
• RQ3 m ≥ 2 個の反射BSDEから成る系が、相互に接続された障害物を持つ場合、ケルヌーイ的不確実性下で一意な解が存在することを証明できるか？
• RQ4 不確実性下でのRBSDE系の解とリアルオプションの下限価格の関係は何か？
• RQ5 多モードかつ不確実性のある市場環境下で、最適スイッチング戦略の存在および一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• ケルヌーイ的不確実性下でのリアルオプションの下限価格は、2つの反射BSDEの解として与えられ、最適の起動・停止戦略を特徴付ける。
• m ≥ 2 モードの場合、係数の適切な正規性および有界性条件の下で、相互に接続された障害物を持つm個の反射BSDEの解の存在および一意性が証明される。
• 最適スイッチング戦略はRBSDE系の解によって完全に特徴付けられ、スイッチング時刻は価値過程が障害物面に初めて到達する時刻として決定される。
• 解はアンビエティセットの摂動に対してロバストであり、優越収束定理により近似列の収束が保証される。
• 本手法により、価値過程が連続的かつ適応的であることが示され、制御過程（スイッチング時刻および行動）は解の経路によって一意に決定される。
• 主な技術的結果は、解の差に対する一様有界性であり、時刻分割のメッシュがゼロに近づくにつれてこの差が消えることから、収束性および一意性が証明される。