[論文レビュー] The stationary measure of a space-inhomogeneous quantum walk on the line

Takako Endo, Norio Konno|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、原点に1つの位相欠陥を有する直線上の空間不均一量子ウォークである Wojcik モデルの定常測度を調査する。分割生成関数法（SGF 法）を用いて、位置に関して指数的減衰を示す明示的かつ対称的な定常測度を導出し、初期コイン状態に依存する局在化を確認した。また、Wojcik らの先行研究と一致する結果を得て、妥当性を検証した。

ABSTRACT

We study a discrete-time quantum walk (QW) on the line with a single phase at the origin which was introduced and studied by Wojcik et al.[1]. We call the model "Wojcik model" here. Konno et al.[2] investigated other types of QWs with one defect at the origin. They presented a method which gives the stationary measure corresponding to localization for the QWs by use of the generating functions splitted in positive and negative parts respectively. In this paper, we call the method "the splitted generating function method (the SGF method)". To clarify in detail which QW is appropriate for the method in the case of study is one of the important challenges to investigate localization properties for various QWs. As for the Wojcik model, we solve the eigenvalue problem by the SGF method and our results agree with Ref.[1]. From the solution of the problem, we derive a stationary measure with an exponential decay for the position. The explicit expression for the stationary measure is symmetric for the origin and ensures localization depending on the initial coin state.

研究の動機と目的

• 原点に1つの位相欠陥を有する離散時間量子ウォークである Wojcik モデルの定常測度を調査すること。
• 空間不均一量子ウォークに局在化を示す場合に、分割生成関数法（SGF 法）の適用可能性を検証すること。
• 定常測度の明示的解析的表現を導出し、その対称性および指数的減衰を確認すること。
• SGF 法の文脈において、初期コイン状態が定常測度および局在化行動に与える影響を明確にすること。

提案手法

• 生成関数の正負の部分に分けることで、固有値問題を解くために SGF 法を適用する。
• 負の軸上における左成分および右成分の生成関数 $ f^{L}_{ ext{--}}(z) $ および $ f^{R}_{ ext{--}}(z) $ を用い、正の軸に対しても同様の形をとる。
• 時間発展則 $ \Psi_{n+1}(x) = P_{x+1}\Psi_n(x+1) + Q_{x-1}\Psi_n(x-1) $ から導かれる関数方程式の系を解くことで解を得る。
• 振幅の漸近的挙動から定常測度を導出し、固有値に関連する複素パラメータ $ \theta_s $ を含む式を得る。
• 特定の初期状態条件下で、$ \theta_s $ の複数の表現が同値であることを確認することで、一貫性を保証する。
• 導出された $ \lambda^2 $ および $ \theta_s^2 $ の式が、Wojcik らの研究と一致することを確認し、正しさを検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SGF 法は、Wojcik モデルのような単一の欠陥を有する空間不均一量子ウォークに適用可能か？
• RQ2 Wojcik モデルの定常測度の明示的形は何か？ また、指数的減衰を示すか？
• RQ3 初期コイン状態は、定常測度および局在化行動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 SGF 法は、Wojcik らの先行研究の知見を再現できるか？
• RQ5 Wojcik モデルの文脈において、初期状態にどのような条件を満たすと対称的な定常測度が得られるか？

主な発見

• $ x > 0 $、$ x = 0 $、$ x < 0 $ における振幅の導出式から、Wojcik モデルの定常測度が原点に関して対称であることが確認された。
• 定常測度は位置に関して指数的減衰を示し、$ x \neq 0 $ に対して振幅が $ \theta_s^{-|x|} $ に比例する。ここで $ \theta_s $ は初期状態から導かれる複素パラメータである。
• $ \beta = i\alpha $ の場合、$ \lambda^2 $ の式は参照文献[1]における $ \lambda_- $ と一致し、$ \beta = -i\alpha $ の場合も $ \lambda_+ $ と一致する。これにより、先行研究と整合性があることが確認された。
• 平方パラメータ $ \theta_s^2 $ は $ \omega $ のみの関数として表され、$ \beta = i\alpha $ の場合 $ \theta_s^2 = \frac{\omega}{\omega^2 - 3\omega + 1 - i(\omega^2 - 1)} $ が得られ、$ \beta = -i\alpha $ の場合は複素共役形が得られる。
• 導出された $ \theta_s^2 $ の式は、参照文献[1]の式 (A13) で定義された $ x_- $ および $ x_+ $ と完全に一致し、手法の妥当性が裏付けられた。
• 定常測度は局在化を確認しており、確率密度が原点から離れるに従い指数的に減少する。局在化の強さは初期コイン状態に依存する。