[論文レビュー] The statistical properties of the volatility of price fluctuations

Yanhui Liu, Parameswaran Gopikrishnan+4 more|RePEc: Research Papers in Economics|Mar 24, 1999

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、S&P 500指数および米国上位500社の株式からの高頻度データを用いて、金融市場におけるボラティリティの統計的性質を調査している。ボラティリティは指数 1 + μ ≈ 4 のべき乗則分布に従い、べき乗則の減衰を示す長距離相関を示し、時間間隔にわたってスケーリングする。これは、複数の時間スケールにわたるボラティリティクラスタリングの持続的性質を示している。

ABSTRACT

We study the statistical properties of volatility---a measure of how much the market is likely to fluctuate. We estimate the volatility by the local average of the absolute price changes. We analyze (a) the S&P 500 stock index for the 13-year period Jan 1984 to Dec 1996 and (b) the market capitalizations of the largest 500 companies registered in the Trades and Quotes data base, documenting all trades for all the securities listed in the three major stock exchanges in the US for the 2-year period Jan 1994 to Dec 1995. For the S&P 500 index, the probability density function of the volatility can be fit with a log-normal form in the center. However, the asymptotic behavior is better described by a power-law distribution characterized by an exponent 1 + μ\approx 4. For individual companies, we find a power law asymptotic behavior of the probability distribution of volatility with exponent 1 + μ\approx 4, similar to the S&P 500 index. In addition, we find that the volatility distribution scales for a range of time intervals. Further, we study the correlation function of the volatility and find power law decay with long persistence for the S&P 500 index and the individual companies with a crossover at approximately 1.5 days. To quantify the power-law correlations, we apply power spectrum analysis and a recently-developed modified root-mean-square analysis, termed detrended fluctuation analysis (DFA). For the S&P 500 index, DFA estimates for the exponents characterizing the power law correlations are α_1=0.66 for short time scales (within \approx 1.5 days) and α_2=0.93 for longer time scales (up to a year). For individual companies, we find α_1=0.60 and α_2=0.74, respectively. The power spectrum gives consistent estimates of the two power-law exponents.

研究の動機と目的

• 金融市場におけるボラティリティの統計的分布を理解すること、特にその裾の挙動およびスケーリング特性について。
• ボラティリティが異なる時間スケールにわたって長距離相関および持続的性質を示すかどうかを検討すること。
• ボラティリティの統計的性質が、広範な市場インデックスと個別株式の間で一貫しているかどうかを評価すること。
• 高度な統計的手法を適用して、ボラティリティ時系列における長記憶効果を定量すること。

提案手法

• ボラティリティは、スライディング時間窓内での価格変動の絶対値の局所平均として推定される。
• ボラティリティ確率密度関数の裾にべき乗則フィットを適用し、指数 1 + μ を推定する。
• デトレンド・フラクタル・アナリシス（DFA）を用いてボラティリティの長距離相関を定量し、短時間スケールおよび長時間スケールのスケーリング指数 α₁ および α₂ を推定する。
• DFAで得られたスケーリング指数を検証するために、パワー・スペクトル解析を適用する。
• 2つのデータセットを用いて分析を行う：S&P 500指数（1984–1996年）および米国上位500社の時価総額（1994–1995年）。
• 複数の時間間隔にわたるボラティリティ分布のスケーリング行動をテストし、自己同形性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 金融市場におけるボラティリティの確率分布の関数的形態は何か？
• RQ2 個別株式と広範な市場インデックスは、ボラティリティ分布において類似した統計的性質を示すか？
• RQ3 ボラティリティショックの持続期間はどの程度で、べき乗則の減衰に従うか？
• RQ4 異なる時間ホライズンにわたるボラティリティ分布に、何らかのスケーリング行動が存在するか？

主な発見

• S&P 500および個別株式のボラティリティ確率密度関数は、指数 1 + μ ≈ 4 のべき乗則尾を示し、重尾的挙動を示している。
• ボラティリティの自己相関関数は、約1.5日でクロスオーバーを示すべき乗則の減衰を示し、長距離依存性を示している。
• S&P 500では、DFAにより短時間スケールで α₁ = 0.66、長時間スケールで α₂ = 0.93 のスケーリング指数が得られ、べき乗則相関と整合的である。
• 個別企業では、DFA推定値は α₁ = 0.60 および α₂ = 0.74 であり、同様だがわずかに弱い長記憶効果を示している。
• パワー・スペクトル解析により、DFAで観察された2つの明確なスケーリング領域が確認され、結果の妥当性が裏付けられた。
• ボラティリティ分布は複数の時間間隔にわたってスケーリングされ、金融市場におけるボラティリティの自己同形性またはマルチフラクタル的挙動を示している。