[論文レビュー] The Steady Boltzmann and Navier-Stokes Equations

Kazuo Aoki, François Golse+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界領域における定常ボルツマン方程式と非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の数学的類似性と相違点を調査する。粘性加熱—フロイド数とマッハ数の比に依存する—が、ボルツマン方程式の解がナビエ＝ストークス＝フラワー系に収束するかどうかを決定づける。重要であるが、滑らかな外力が常に滑らかな解をもたらすナビエ＝ストークス方程式とは異なり、ボルツマン方程式は同じ条件下で解をもたないことがある。これは、時間発展問題の数値シミュレーションにおける温度上昇と関連する。

ABSTRACT

The paper discusses the similarities and the differences in the mathematical theories of the steady Boltzmann and incompressible Navier-Stokes equations posed in a bounded domain. First we discuss two different scaling limits in which solutions of the steady Boltzmann equation have an asymptotic behavior described by the steady Navier-Stokes Fourier system. Whether this system includes the viscous heating term depends on the ratio of the Froude number to the Mach number of the gas flow. While the steady Navier-Stokes equations with smooth divergence-free external force always have at least one smooth solutions, the Boltzmann equation with the same external force set in the torus, or in a bounded domain with specular reflection of gas molecules at the boundary may fail to have any solution, unless the force field is identically zero. Viscous heating seems to be of key importance in this situation. The nonexistence of any steady solution of the Boltzmann equation in this context seems related to the increase of temperature for the evolution problem, a phenomenon that we have established with the help of numerical simulations on the Boltzmann equation and the BGK model.

研究の動機と目的

• 有界領域における定常ボルツマン方程式と非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の数学的類似性と相違点を分析すること。
• 定常ボルツマン方程式が定常ナビエ＝ストークス＝フラワー系に漸近的に近づくスケーリング極限を特定すること。
• 滑らかで非ゼロの外力下でボルツマン方程式が解をもたない理由を調査すること。これは、ナビエ＝ストークス方程式とは対照的である。
• この非存在性の物理的起源を、特に時間発展解における粘性加熱と温度上昇の役割を明らかにすること。
• 定常ナビエ＝ストークス解の非一意性と、ボルツマン方程式で観察される数値的分岐現象との関連を確立すること。

提案手法

• 異なるスケーリング仮定の下で、定常ボルツマン方程式から非圧縮性ナビエ＝ストークス＝フラワー系の2つの変種を形式的に導出すること。
• 周期的境界条件設定を用いて、ボルツマン方程式とナビエ＝ストークス方程式の解の存在性を比較すること。
• 速度空間におけるガウス平均と直交性関係を用いて、衝突作用素のモーメントを計算すること。
• テンソル分解技術を用いて、$ A_{ij} $、$ B_i $、$ C_{jkl} $ などの速度依存場の統計的モーメントを評価すること。
• 時間依存ボルツマン方程式およびBGKモデルの数値シミュレーションを実施し、温度の時間発展と粘性加熱効果を調査すること。
• 線形化衝突作用素 $ ilde{L} $ を含む関数解析的手法を用いて、解の構造と正則性を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常ボルツマン方程式がどのスケーリング極限で定常ナビエ＝ストークス＝フラワー系に収束するか？
• RQ2 なぜ定常ボルツマン方程式は滑らかで非ゼロの外力下で解をもたないのか。一方、ナビエ＝ストークス方程式は常にそうであるのか？
• RQ3 フロイド数とマッハ数の比が、ボルツマン方程式の流体力学的極限における粘性加熱の有無をどのように決定づけるか？
• RQ4 非ゼロ外力下での定常ボルツマン方程式の解の非存在性において、粘性加熱が果たす役割は何か？
• RQ5 時間発展ボルツマン方程式の数値シミュレーションは、解の崩壊の背後にある物理的メカニズムをどのように明らかにするか？

主な発見

• 滑らかで発散なしの外力が作用する定常ナビエ＝ストークス方程式は、領域にかかわらず、常に少なくとも1つの滑らかな解をもつ。
• これに対して、トーラスまたは鏡像反射を伴う有界領域における同じ外力下で、定常ボルツマン方程式は力が恒等的にゼロでない限り、解をもたないことがある。
• 流体力学的極限における粘性加熱の有無は、ガスのフロイド数とマッハ数の比に強く依存する。
• 時間発展ボルツマン方程式およびBGKモデルの数値シミュレーションは、温度が著しく上昇することを示しており、これは定常状態における解の非存在の主な要因である可能性を示唆している。
• 非ゼロ外力下での定常ボルツマン方程式の解の非存在は、時間発展で観察される無限大への温度上昇と物理的に関連しており、これは定常状態の形成を妨げる。
• テンソルモーメント計算により、$ \nu = \frac{1}{15}\langle|v|^4 \alpha(|v|)\rangle > 0 $ が得られ、線形化衝突作用素から導かれる粘性係数の正の性質が確認された。