[論文レビュー] The Steiner 4-diameter of a graph

Zhao Wang, Yaping Mao+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Graph theory and applications参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非切断頂点とサイクル構造の分析を通じて、スティーナー4径路が3、4、またはn−1に等しいグラフを同定する。sdiam₄(G) = n−1 であるための必要十分条件は、Gが6種類の特定のグラフ型 T_{a,b,c,d}、△_{a,b,c,d}、△′_{a,b,c,d}、G₁、G₂、G₃ のいずれかに同型であることであり、非切断頂点とサイクルの交差に関する制約に基づく。

ABSTRACT

The Steiner distance of a graph, introduced by Chartrand, Oellermann, Tian and Zou in 1989, is a natural generalization of the concept of classical graph distance. For a connected graph $G$ of order at least $2$ and $S\subseteq V(G)$, the \emph{Steiner distance} $d_G(S)$ among the vertices of $S$ is the minimum size among all connected subgraphs whose vertex sets contain $S$. Let $n,k$ be two integers with $2\leq k\leq n$. Then the \emph{Steiner $k$-eccentricity $e_k(v)$} of a vertex $v$ of $G$ is defined by $e_k(v)=\max \{d(S)\,|\,S\subseteq V(G), \ |S|=k, \ and \ v\in S \}$. Furthermore, the \emph{Steiner $k$-diameter} of $G$ is $sdiam_k(G)=\max \{e_k(v)\,|\, v\in V(G)\}$. In 2011, Chartrand, Okamoto and Zhang showed that $k-1\leq sdiam_k(G)\leq n-1$. In this paper, graphs with $sdiam_4(G)=3,4,n-1$ are characterized, respectively.

研究の動機と目的

• スティーナー4径路が sdiam₄(G) = 3 に等しいすべてのn次の連結グラフGを同定すること。
• スティーナー4径路が sdiam₄(G) = 4 に等しいすべてのn次の連結グラフGを同定すること。
• スティーナー4径路が最大値 n−1 に等しいすべてのn次の連結グラフGを同定し、その最大値を達成するグラフの正確な族を特定すること。
• スティーナー4径路を決定づける非切断頂点とサイクルの交差に関する構造的条件を確立すること。
• k=4の場合のスティーナーk径路に対する既存の上限を拡張し、正確な特徴付けを提供すること。

提案手法

• 非切断頂点の概念を用い、部分グラフHの非切断頂点から全体グラフGの非切断頂点への単射写像を適用することで、構造的制約を保持する。
• 補題2および補題3を適用し、サイクル長および交差性に基づいて非切断頂点の数を制限する。
• 長さ3または4のサイクルCᵢについて、G∖V(Cᵢ) の構造を分析し、それが互いに独立なパスの和集合である必要があることを示す。
• 周囲長c(G) に基づく場合分けを用い、c(G)=3、c(G)=4、c(G)≥5 の場合を区別する。
• c(G) ≥ 5 ならば sdiam₄(G) ≤ n−2 であるという事実を用い、このようなグラフが最大径路を達成できないことを示す。
• T_{a,b,c,d}、△_{a,b,c,d}、△′_{a,b,c,d}、G₁、G₂、G₃ という明示的なグラフ族を構成し、sdiam₄(G) = n−1 を満たすすべてのグラフを表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフが最小のスティーナー4径路、すなわち sdiam₄(G) = 3 を達成するか？
• RQ2 どのグラフが次の最小のスティーナー4径路、すなわち sdiam₄(G) = 4 を達成するか？
• RQ3 n次の連結グラフGについて、sdiam₄(G) = n−1 となる正確な構造的条件は何か？
• RQ4 サイクルの数と交差パターンは、スティーナー4径路にどのように影響するか？
• RQ5 非切断頂点は、グラフのスティーナー4径路にどのような役割を果たすか？

主な発見

• sdiam₄(G) = 3 であるグラフは、任意の4頂点の部分集合に対して、サイズ3のスティーナー木が存在することに特徴づけられ、極めて中心的構造を持つことを示唆する。
• sdiam₄(G) = 4 であるグラフは、非切断頂点が4つ以下であり、長さ5以上のサイクルを含まないという特徴を持つ。
• 最大のスティーナー4径路、すなわち sdiam₄(G) = n−1 は、Gが T_{a,b,c,d}、△_{a,b,c,d}、△′_{a,b,c,d}、G₁、G₂、G₃ のいずれかに同型である場合に限り成立する。
• Gに長さ5以上のサイクルが含まれるならば、sdiam₄(G) ≤ n−2 であるため、このようなグラフは最大径路を達成できない。
• Gの周囲長が4である場合、非切断頂点の数は正確に4つであり、かつGはG₁、G₂、またはG₃に同型でなければならない。
• 周囲長が3の場合、グラフの構造は三角形の数と交差パターンに依存する。1つの三角形がある場合、G ≅ △_{a,b,c,d} であり、2つの互いに素または交差する三角形がある場合、G ≅ △′_{a,b,c,d} である。