[論文レビュー] The Stieltjes constants, their relation to the eta_j coefficients, and representation of the Hurwitz zeta function

Mark W. Coffey|ArXiv.org|Jun 3, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ゼータ関数の対数微分 ζ′(s)/ζ(s) のローラン展開に現れる ηⱼ コefficient と Stieltjes 定数 γₖ(1) の間の新しい関係を確立し、γₖ(a) に対する新しい積分的および級数的表現を導出し、Li 基準の和 S₂(n) を O(n) の成分 Sγ(n) と SΛ(n) に分解する。主な貢献は、|Sγ(n) + n| = O(n¹ᐟ⁴) であることを示したことであり、これは振動的成分 S₂Λ(n) が指数的成長より緩やかな成長の境界によってリーマン予想の妥当性を支配することを示唆する。

ABSTRACT

The Stieltjes constants gamma_k(a) are the expansion coefficients in the Laurent series for the Hurwitz zeta function about its only pole at s=1. We present the relation of gamma_k(1) to the eta_j coefficients that appear in the Laurent expansion of the logarithmic derivative of the Riemann zeta function about its pole at s=1. We obtain novel integral representations of the Stieltjes constants and new decompositions such as S_2(n) = S_gamma(n) + S_Lambda(n) for the crucial oscillatory subsum of the Li criterion for the Riemann hypothesis. The sum S_γ(n) is O(n) and we present various integral representations for it. We present novel series representations of S_2(n). We additionally present a rapidly convergent expression for γ_k= γ_k(1) and a variety of results pertinent to a parameterized representation of the Riemann and Hurwitz zeta functions.

研究の動機と目的

• Stieltjes 定数 γₖ(1) と、ζ′(s)/ζ(s) のローラン展開に現れる ηⱼ コefficient 間の解析的関係を明確化すること。
• Stieltjes 定数 γₖ(a) およびHurwitz ゼータ関数に対する新しい積分的および級数的表現を導出すること。
• Li 基準の和 S₂(n) を Sγ(n) + SΛ(n) に分解し、Sγ(n) が O(n) であり、SΛ(n) がリーマン予想に関連する振動的成分を捉えること。
• Sγ(n) と S₂Λ(n) の漸近的成長を分析し、特に |Sγ(n) + n| に対して O(n¹ᐟ⁴) の境界を確立することにより、S₂(n) の挙動を制約すること。
• ラゲール多項式、ディリクレ級数、ゼータ関数の非自明な零点がリーマン予想および Li/Keiper 定数とどのように関連するかを示す枠組みを提供すること。

提案手法

• von マンゴルト関数と漸近展開を用いて、∑[1−Λ(m)]/m ⋅ lnᵏm の和を通じて γₖ(1) と ηₖ を結ぶ新しい恒等式を導出する。
• 複素解析と lnᵏ(a−iy) および 1/(e²πy−1) を含む contour 積分の実部を用いて、γₖ(a) の積分的表現を導入する。
• ラゲール多項式 Lₙ₋₁¹(x) を用いて S₂(n) を ηₘ₋₁ コefficient の和として表現し、積分的および漸近的解析を可能にする。
• ラゲール多項式の Fejér の漸近公式を適用して、Sγ(n) の振動的挙動を推定し、それが O(n¹ᐟ⁴) の割合で成長することを示す。
• S₂(n) = Sγ(n) + SΛ(n) の分解を確立し、Sγ(n) = ∫₁^∞ (1/t)Lₙ₋₁¹(ln t)dP₁(t) および SΛ(n) = ∑[1−Λ(m)]/m ⋅ Lₙ₋₁¹(ln m) と表す。
• Lₙ₋₁¹(x) のラプラス変換を用いて、Li/Keiper 定数とゼータ関数の零点を関連付け、Lₙ(s) の関数方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Stieltjes 定数 γₖ(1) と、ζ′(s)/ζ(s) のローラン展開に現れる ηⱼ コefficient 間の関係は何か？
• RQ2 Stieltjes 定数 γₖ(a) の新しい積分的および級数的表現は何か？ そして、これらはHurwitz ゼータ関数の解析的構造をどのように拡張するか？
• RQ3 S₂(n) = Sγ(n) + SΛ(n) の分解は、リーマン予想の Li 基準にどのように寄与するか？
• RQ4 O(n) の成分 Sγ(n) の漸近的成長挙動は何か？ そして、これは振動的成分 S₂Λ(n) にどのように影響を与えるか？
• RQ5 S₂Λ(n) の成長を制限することでリーマン予想を検証可能か？ そして、この和の最適なオーダーは何か？

主な発見

• Stieltjes 定数 γₖ(1) と ηⱼ コefficient 間の関係は、恒等式 (−1)ᵏ/k! γₖ − ηₖ = (−1)ᵏ/k! ∑[1−Λ(m)]/m ⋅ lnᵏm により与えられ、k ≥ 0 で成立する。
• γₖ(a) に対する新しい積分的表現が導出された：γₖ(a) = (1/(2a))lnᵏa − lnᵏ⁺¹a/(k+1) + (2/a) Re ∫₀^∞ [(y/a−i)lnᵏ(a−iy)] / [(1+y²/a²)(e²πy−1)] dy。
• 和 S₂(n) は Sγ(n) + SΛ(n) に分解され、Sγ(n) は O(n) であり、積分形 ∫₁^∞ (1/t)Lₙ₋₁¹(ln t)dP₁(t) で表される。
• Sγ(n) の振動的成分 |Sγ(n) + n| は、ラゲール多項式の Fejér の漸近公式から O(n¹ᐟ⁴) の割合で成長することが導かれる。
• SΛ(n) = n + S₂Λ(n) は n に近く、小さな振動的補正 S₂Λ(n) を有する。この和の成長がリーマン予想の妥当性を決定づける。
• ラプラス変換の Lₙ₋₁¹(x) に対して、関数方程式 Lₙ(s) = −(1−1/s)ⁿLₙ(1−s) が導出され、これは臨界線およびゼータ関数の零点と関連づけられる。