[論文レビュー] The Stochastic Matching Problem: Beating Half with a Non-Adaptive Algorithm

Sepehr Assadi, Sanjeev Khanna+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、期待されるマッチングサイズが $ \text{opt} $ のグラフに、$ b = \frac{1}{p} $ における $ b $-マッチングがサイズ $ b \cdot \text{opt} $ を持つという構造的結果を示すことで、1/2より良い近似比を達成する非適応的アルゴリズムを初めて提示する。この結果により、期待マッチングサイズが $ \frac{1}{2} + \delta_0 $ 以上であるようなサブグラフ $ H $ を構築でき、その最大次数は $ O\left(\frac{\log(1/p)}{p}\right) $ である。

ABSTRACT

In the stochastic matching problem, we are given a general (not necessarily bipartite) graph $G(V,E)$, where each edge in $E$ is realized with some constant probability $p > 0$ and the goal is to compute a bounded-degree (bounded by a function depending only on $p$) subgraph $H$ of $G$ such that the expected maximum matching size in $H$ is close to the expected maximum matching size in $G$. The algorithms in this setting are considered non-adaptive as they have to choose the subgraph $H$ without knowing any information about the set of realized edges in $G$. Originally motivated by an application to kidney exchange, the stochastic matching problem and its variants have received significant attention in recent years. The state-of-the-art non-adaptive algorithms for stochastic matching achieve an approximation ratio of $\frac{1}{2}-ε$ for any $ε> 0$, naturally raising the question that if $1/2$ is the limit of what can be achieved with a non-adaptive algorithm. In this work, we resolve this question by presenting the first algorithm for stochastic matching with an approximation guarantee that is strictly better than $1/2$: the algorithm computes a subgraph $H$ of $G$ with the maximum degree $O(\frac{\log{(1/ p)}}{p})$ such that the ratio of expected size of a maximum matching in realizations of $H$ and $G$ is at least $1/2+δ_0$ for some absolute constant $δ_0 > 0$. The degree bound on $H$ achieved by our algorithm is essentially the best possible (up to an $O(\log{(1/p)})$ factor) for any constant factor approximation algorithm, since an $Ω(\frac{1}{p})$ degree in $H$ is necessary for a vertex to acquire at least one incident edge in a realization.

研究の動機と目的

• 非適応的アルゴリズムにおける確率的マッチング問題の1/2という根本的限界が存在するかを解明すること。
• 1/2を超える近似比を達成する非適応的アルゴリズムを設計すること。
• 期待マッチングサイズが大きいグラフにおける $ b $-マッチングの構造的性質を確立すること、ここで $ b = \frac{1}{p} $ である。
• 元のグラフ $ G $ の期待マッチングサイズに対する定数倍近似を保ちながら、サブグラフ $ H $ の最大次数を最小化すること。
• Blumら（EC 2015）が提起したオープン問題に進展をもたらし、非適応的アルゴリズムで $ (1 - \varepsilon) $-近似を達成すること。

提案手法

• 構造的補題を活用し、元のグラフ $ G $ に $ \frac{1}{p} $-マッチング $ B $ を構築する。この $ b $-マッチングは、エッジが実現された際の期待マッチングサイズを保持する。
• 確率的技法を用いて、サイズ $ \frac{\text{opt}}{p} $ の $ \frac{1}{p} $-マッチングが、実現における期待マッチングサイズを少なくとも $ \frac{\text{opt}}{3} $ 以上に保証することを示し、後続の精密分析により $ \approx 0.4 \cdot \text{opt} $ に改善する。
• スパarsification技法を適用し、得られるサブグラフ $ H $ の最大次数を $ O\left(\frac{\log(1/p)}{p}\right) $ に低下させ、グラフサイズに依存しない有界次数を確保する。
• 線形計画緩和と制約緩和を用いて、実現における期待マッチングサイズを下界で評価し、$ \left(\frac{1}{2} + \frac{p^2}{4} - \frac{p_0^2}{10^4}\right) \cdot \text{opt} $ の下界を導出する。
• $ p $ が小さい場合、近似比は 0.52 に近づき、任意の $ p \in (0,1) $ に対して、絶対定数 $ \delta_0 > 0 $ を用いて $ \frac{1}{2} + \delta_0 $ 以上となる。
• 最大次数の下界がほぼ最適であることを証明し、エッジ実現確率の制約により、任意の定数倍近似には $ \Omega(1/p) $ の次数が必要であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非適応的アルゴリズムが確率的マッチング問題で1/2を超える近似比を達成可能か？
• RQ2 有界次数のサブグラフを用いて、非適応的アルゴリズムにおける1/2の壁を乗り越えることは可能か？
• RQ3 期待マッチングサイズが大きいグラフの構造的性質は、1/2を超える近似を可能にするか？
• RQ4 $ b = \frac{1}{p} $ における $ b $-マッチング補題を用いて、1/2を超える近似比を持つ非適応的アルゴリズムを導出可能か？
• RQ5 サブグラフの次数が $ f(\varepsilon, p) $ である場合、非適応的アルゴリズムで $ (1 - \varepsilon) $-近似を達成可能か？

主な発見

• 本稿では、ある絶対定数 $ \delta_0 > 0 $ を用いて $ \frac{1}{2} + \delta_0 $ の近似比を達成する非適応的アルゴリズムを提示し、1/2の閾値を厳密に上回ることを示した。
• 十分に小さな $ p $ の場合、アルゴリズムは少なくとも 0.52 の近似比を達成し、以前の $ \frac{1}{2} - \varepsilon $ の境界を改善した。
• サブグラフ $ H $ の最大次数は $ O\left( \frac{\log(1/p)}{p} \right) $ であり、対数要因を除いてほぼ最適である。
• 構造的補題により、期待最大マッチングサイズが $ \text{opt} $ の任意のグラフに、サイズ $ \approx \frac{\text{opt}}{p} $ の $ \frac{1}{p} $-マッチングが存在し、その実現により少なくとも $ \frac{\text{opt}}{3} $ のマッチングサイズが得られ、後続の精密分析により $ \approx 0.4 \cdot \text{opt} $ に改善された。
• アルゴリズムの性能はすべての $ p \in (0,1) $ に対して一貫しており、1/2より常に一定の加法的ギャップ $ \delta_0 > 0 $ を保証する。
• 次数の下界は本質的にタイトであり、エッジ実現確率の制約により、任意の定数倍近似には $ \Omega(1/p) $ の次数が必要である。