[論文レビュー] The stochastic primitive equations with non-isothermal turbulent pressure

Antonio Agresti, Matthias Hieber+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的ボウシネスクおよび静水的近似を用いてナビエ＝ストークス方程式から導かれる、非等温乱流圧力および輸送ノイズを有する確率的原始方程式のグローバルな適切性を導入し、確立する。主な貢献は、伊藤およびストラトノビッチ形式の両方において $ H^1 $-適切性を証明することであり、新規のエネルギー推定と初期データへの連続的依存性を含む。これは等温の場合でさえ成立する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study the primitive equations with $ extit{non}$-isothermal turbulent pressure and transport noise. They are derived from the Navier-Stokes equations by employing stochastic versions of the Boussinesq and the hydrostatic approximations. The temperature dependence of the turbulent pressure can be seen as a consequence of an additive noise acting on the small vertical dynamics. For such a model we prove global well-posedness in $H^1$ where the noise is considered in both the Itô and Stratonovich formulations. Compared to previous variants of the primitive equations, the one considered here presents a more intricate coupling between the velocity field and the temperature. The corresponding analysis is seriously more involved than in the deterministic setting. Finally, the continuous dependence on the initial data and the energy estimates proven here are new, even in the case of isothermal turbulent pressure.

研究の動機と目的

• 微小な垂直動態に作用する熱的フラクチュエーションに起因する非等温乱流圧力を有する地球物理的流れをモデル化すること。
• クライクハンの乱流理論および小スケールパラメータ化に裏付けられた、輸送ノイズを原始方程式に組み込むこと。
• 両方の伊藤およびストラトノビッチ形式において、導出された確率的系の $ H^1 $ におけるグローバルな適切性を確立すること。
• 従来の決定的および等温確率的設定を越えて、新たなエネルギー推定および初期データへの連続的依存性を提供すること。
• 温度依存の乱流圧力に起因する速度と温度の間の強化された結合を厳密に分析すること。これは数学的複雑性を高める。

提案手法

• 確率的ボウシネスクおよび静水的近似のバージョンを用いて、ナビエ＝ストークス方程式から確率的原始方程式を導出する。
• 非等温乱流圧力を、垂直動態に作用する加法的ノイズの結果としてモデル化し、圧力項に温度依存性を導入する。
• 輸送ノイズ（クライクハン型）を用いて、速度および温度場における小スケール確率的性質を表現する。
• 静水的ヘルムホルツ射影を適用して、速度および温度のための確率的偏微分方程式の結合系に再定式化する。
• 非線形項およびノイズ項の制御のため、$ H^1 $-基底空間における確率的最大正則性および事前推定を用いる。
• 時間および空間における詳細な $ L^2 $-推定（マルティンゲールおよび勾配ノイズ項を含む）を用いて、エネルギー推定および連続的依存性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 温度依存の乱流圧力の組み込みが、確率的原始方程式の適切性および正則性に与える影響は何か？
• RQ2 両方の伊藤およびストラトノビッチノイズ形式において、非等温乱流圧力を有する確率的原始方程式のグローバル $ H^1 $-適切性を確立できるか？
• RQ3 輸送ノイズが地球物理的流れモデルにおける速度場と温度場の間の結合に与える影響は何か？
• RQ4 非等温状態におけるエネルギー推定および初期データへの連続的依存性は、等温または決定的設定と比べてどのように異なるか？
• RQ5 非等温圧力項は、標準的な確率的原始方程式におけるものよりも、新たな解析的課題をどれほど引き起こすか？

主な発見

• 非等温乱流圧力を有する確率的原始方程式について、伊藤およびストラトノビッチ形式の両方において $ H^1 $ におけるグローバルな適切性が確立された。
• 本研究で得られたエネルギー推定は、等温の場合でさえ新規であり、解に対するより強い事前制御を提供する。
• 初期データへの連続的依存性が証明され、従来の結果を越えて正則性および安定性解析が拡張された。
• 温度依存の乱流圧力に起因する、速度と温度の間のより複雑な結合が系に現れ、解析的複雑性が増加した。
• 確率的最大正則性および詳細な $ L^2 $-推定の適用により、非線形項およびノイズの相互作用、特に垂直微分項の制御が可能になった。
• ストラトノビッチ形式が、ノイズの二次変動に起因する追加のドリフト項を有するイタ型系と等価であることが示され、グローバル存在性が保たれた。