[論文レビュー] The Stokes complex for Virtual Elements with application to Navier--Stokes flows

L. Beirão da Veiga, David Mora+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス流れに適用された仮想有限要素法（VEM）に対して、$ C^1 $-連続な仮想有限要素空間 $ \Phi_h \subset H^2(\Omega) $ を導入することにより、ストークス複体構造を確立した。この結果、三つ組 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ が正確なストークス複体を形成することを証明した。この手法により、発散自由な速度と、自由度を介した計算可能な作用素を有する離散 $ \mathrm{curl} $ 形式のナビエ＝ストークス問題が可能となり、最適収束性と頑健性を示す数値実験によって検証された。

ABSTRACT

In the present paper, we investigate the underlying Stokes complex structure of the Virtual Element Method for Stokes and Navier--Stokes introduced in previous papers by the same authors, restricting our attention to the two dimensional case. We introduce a Virtual Element space $Φ_h \subset H^2(Ω)$ and prove that the triad $\{Φ_h, V_h, Q_h\}$ (with $V_h$ and $Q_h$ denoting the discrete velocity and pressure spaces) is an exact Stokes complex. Furthermore, we show the computability of the associated differential operators in terms of the adopted degrees of freedom and explore also a different discretization of the convective trilinear form. The theoretical findings are supported by numerical tests.

研究の動機と目的

• ストークスおよびナビエ＝ストークス問題に対する仮想有限要素法における、背後にあるストークス複体構造を解明すること。
• 速度空間および圧力空間と組み合わせて離散ストークス複体を完成させる $ C^1 $-連続な仮想有限要素空間 $ \Phi_h \subset H^2(\Omega) $ を構築すること。
• 三つ組 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ が正確なストークス複体を形成することを証明し、離散発散自由速度と安定な解の存在を保証すること。
• 自由度を用いた $ \Phi_h $ 空間と自由度に基づく計算可能な離散 $ \mathrm{curl} $ 形式のナビエ＝ストークス問題を構築すること。
• ストークス複体保存型VEMと、ストリーム関数形式の直接的 $ C^1 $ 離散化との比較を行い、条件数とシステムサイズを分析すること。

提案手法

• 多角形メッシュ上に定義された $ H^2 $-連続関数からなる仮想有限要素空間 $ \Phi_h $ を導入し、自由度として点値、勾配のモーメント、ラプラシアンのモーメント（次数 $ k-1 $ まで）を含む。
• ヘッシアンの射影と安定化項 $ \widetilde{\mathcal{S}}^E $ を用いて、計算可能な離散双一次形式 $ \widetilde{a}_h(\cdot,\cdot) $ を定義し、自由度からの計算可能性を保証する。
• すべての項が自由度から表現可能な、$ \Delta\psi_h $、$ \mathrm{curl}\,\psi_h $、$ \nabla\psi_h $ の射影を用いた計算可能な三一次形式 $ \widetilde{c}_h(\cdot;\cdot,\cdot) $ を構築する。
• 離散 $ \mathrm{curl} $ 形式のナビエ＝ストークス問題を $ \Phi_h $ 上に導出し、元の手法と同一の速度を得るが、圧力のグローバルな再構成が必要となる。
• 対流項のための第3の離散化を提案・分析し、収束結果をこの変種に拡張する。
• ストークス複体に基づくVEMと、ストリーム関数形式の直接的 $ C^1 $-VEM 離散化との比較を行い、条件数とシステムサイズを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストークスおよびナビエ＝ストークス問題に対する仮想有限要素法は、離散ストークス複体構造に組み込むことができるか？
• RQ2 $ C^1 $-連続な仮想有限要素空間 $ \Phi_h \subset H^2(\Omega) $ を構築可能であり、$ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ が正確なストークス複体を形成するか？
• RQ3 複体に含まれる微分作用素（例：ラプラシアン、カール）は、仮想有限要素空間の自由度から計算可能か？
• RQ4 得られる離散 $ \mathrm{curl} $ 形式は、元の速度解を保ちつつ、グローバルなシステムによる圧力再構成を可能にするか？
• RQ5 ストークス複体保存型VEMは、直接的 $ C^1 $ ストリーム関数離散化と比較して、条件数およびシステムサイズの観点でどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 三つ組 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ は正確なストークス複体を形成し、離散発散自由速度と一意な解の存在を保証する。
• 離散双一次形式および三一次形式は、自由度からのみ計算可能であり、安定化項 $ \widetilde{\mathcal{S}}^E $ はメッシュサイズに依存しない安定性バインドを満たす。
• 離散 $ \mathrm{curl} $ 形式のナビエ＝ストークス問題は、元のVEMと同一の速度を生成し、圧力はグローバルな長方形システムにより再構成可能である。
• 数値実験により、速度および圧力の最適収束率が確認され、条件数およびシステムサイズは標準FEMと同等またはそれより良好である。
• 提案された対流項の代替離散化は収束性を維持し、高次精度を実現するための有効な代替手段を提供する。
• 特に高次要素において、ストークス複体に基づくVEMは、直接的 $ C^1 $ ストリーム関数離散化よりも条件数およびシステムサイズの観点で優れている。