[論文レビュー] The Strange World of Non-amenable Symmetries

Erhard Seiler|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双曲的標的空間を含む非コンpaktoかつ非可換な対称性群を有する非線形シグマ模型を調査し、非可換性のためメルミン＝ワグナーの定理が破れるにもかかわらず、1次元および2次元でも自発的対称性の破れ（SSB）が発生することを示している。主な貢献は、可測な基底状態が存在しないにもかかわらず、一意なユニタリかつ連続な基底状態表現が存在すること、およびオスターワルダー＝シュレーディンガー再構成によって非分離なヒルベルト空間が出現することであり、2次元連続極限に関する未解決問題を提起している。

ABSTRACT

Nonlinear sigma models with non-compact target space and non-amen-able symmetry group were introduced long ago in the study of disordered electron systems. They also occur in dimensionally reduced quantum gravity; recently they have been considered in the context of the AdS/CFT correspondence. These models show spontaneous symmetry breaking in {\it any} dimension, even one and two (superficially in contradiction with the Mermin-Wagner theorem) as a consequence of the non-amenability of their symmetry group. The low-dimensional models show other peculiarities: invariant observables remain dependent on boundary conditions in the thermodynamic limit and the Osterwalder-Schrader reconstruction yields a non-separable Hilbert space. The ground state space, however, under quite general conditions, carries a unique unitary and continuous representation. The existence of a continuum limit in 2D is an open question: while the perturbative Renormalization Group suggests triviality, other arguments hint at the existence of a conformally invariant continuum limit at least for suitable observables. This talk gives an overview of the work done during the last several years in collaboration first of all with Max Niedermaier, some of it also with Peter Weisz and Tony Duncan.

研究の動機と目的

• 非コンパクトかつ非可換な対称性群を有する場の量子論の振る舞いを理解すること、特に標準的な定理（例えばメルミン＝ワグナーの定理）が適用されない低次元において。
• ハイパーボリック空間上での量子力学およびそのような対称性を有するスピン系モデルにおける基底状態および不変観測量の構造を分析すること。
• オスターワルダー＝シュレーディンガー再構成が、ヒルベルト空間の分離性および2次元モデルにおける連続極限の存在に与える影響を調査すること。
• 2次元ハイパーボリックシグマ模型における赤外自由性と共形不変性の両立可能性を示唆する摂動的重正化群結果の妥当性を評価すること。
• 特に摂動論的理論と形式的共形場理論の計算が矛盾を示す中で、非自明な連続極限が存在するかどうかを特定すること。

提案手法

• ハイパーボリック空間 $\mathbb{H}_N = SO_o(1,N)/SO_o(N)$ 上の量子力学を、ラプラス＝ベルトラミー作用素およびメーラー＝フォック変換を用いてスペクトル性質および一般化された基底状態を研究する。
• ユークリッド経路積分にオスターワルダー＝シュレーディンガー再構成手順を適用し、連続スペクトルおよび可測でない基底状態のため、非分離ヒルベルト空間が得られることを示す。
• ウォード恒等式および相関関数を用いて、有限体積の格子モデルにおいても1次元および2次元においても自発的対称性の破れを検出する。
• 摂動的1ループ重正化群解析を適用し、モデルがリッチィフローに従って流れることを示し、赤外漸近的自由性を示唆する。
• 非可換群の非ユニタリ表現を有する場の量子論に対する公理的制約を検討し、非破れ対称性を有する標準的な場多重項の存在を排除する。
• ハバによる形式的計算を評価し、$\beta > 1/(3\pi)$ の場合に中心的荷重 $c=1$ の共形場理論が存在し得ることを示唆し、非ガウス型固定点の可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトかつ非可換な対称性群を有する非線形シグマ模型が1次元および2次元においても、メルミン＝ワグナーの定理に反して自発的対称性の破れを示すか？
• RQ2 連続スペクトルおよび可測でない基底状態を有するモデルにおいて、オスターワルダー＝シュレーディンガー再構成手順がヒルベルト空間構造に与える影響は何か？
• RQ3 摂動的重正化群と形式的共形場理論の両方から得られる矛盾する証拠を踏まえ、ハイパーボリック標的空間を有する2次元非線形シグマ模型に非自明な連続極限が存在するか？
• RQ4 これらのモデルでは、標準的な質量ギャップの不在に関する議論がなぜ失敗するのか、低エネルギースペクトルの性質は何か？
• RQ5 非可換対称性を非破れで保つユニタリ場の量子理論を構成することは可能か、それとも常に自発的対称性の破れが生じる必要があるのか？

主な発見

• 非可換性のため、メルミン＝ワグナーの定理が破れるため、1次元および2次元を含む任意の次元で自発的対称性の破れが発生する。
• 可測な基底状態ベクトルが存在しないにもかかわらず、基底状態空間は一意なユニタリかつ連続表現を有する。
• オスターワルダー＝シュレーディンガー再構成により非分離ヒルベルト空間が得られ、これは連続スペクトルおよび可測でない一般化された基底状態に起因する。
• 摂動的重正化群解析は赤外漸近的自由性を示唆しており、連続極限においてモデルが自明である可能性を示唆するが、これは大スケールでの曲率感受性と矛盾する。
• ハバによる形式的計算は、$\beta > 1/(3\pi)$ の場合に中心的荷重 $c=1$ の共形不変連続極限が存在し得ることを示唆し、非ガウス型固定点の可能性を示唆する。
• 公理的考察により、非可換群の非ユニタリ表現に従う場の多重項の存在は排除され、したがってSSBが生じるか、あるいは場の一部のみが量子場理論を形成できる。