[論文レビュー] The Strength of Predicative Abstraction

Sean Walsh|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、予言的コンprehヘンションとグローバル選択が閉じた抽象原理の体系が、Kripke-Platek集合論（KPN∗）の変種を解釈できることを示すことによって、フレーゲの定理の予言的類似物を確立する。このKPN∗は、第二順序算術の予言的部分体系Σ₁¹-ACを解釈する。この結果は、フォン・ノイマンの基礎の整合性証明を模倣し、ブルラリ＝フォルティの背理に関連する抽象原理を用いて、整礎性の検査を簡略化することで達成される。

ABSTRACT

Frege’s theorem says that second-order Peano arithmetic is interpretable in Hume’s Principle and full impredicative comprehension. Hume’s Principle is one example of an abstraction principle, while another paradigmatic example is Basic Law V from Frege’s Grundgesetze. In this paper we study the strength of abstraction principles in the presence of predicative restrictions on the comprehension schema, and in particular we study a predicative Fregean theory which contains (i) all the abstraction principles whose equivalence relations can be proven to be equivalence relations in a weak back-ground second-order logic, as well as (ii) a form of global choice (cf. Definition 2.7). Our main theorem shows that this predicative Fregean theory interprets a variant KPN∗ of Kripke-Platek set theory KP (cf. Theorem 3.2). Since this theory KPN ∗ in turn inter-prets the predicative subsystem Σ11-AC of second-order Peano arithmetic, we obtain a predicative analogue of Frege’s theorem. The proof of this result proceeds by using the set-theoretic resources of the Grundgesetze to emulate the definitions featuring in the von Neumann relative consistency proof of the axiom of foundation (cf. Definition 3.1), and by using an abstraction principle related to the Burali-Forti paradox to reduce the complexity of testing for well-foundedness.

研究の動機と目的

• コンprehヘンションが予言的形に制限された場合の抽象原理の強さを調査すること。
• 弱い第二順序論理において、同値関係が証明可能に同値関係である抽象原理をすべて含む予言的フレーゲ理論を構築すること。
• 体系の解釈的力強化を目的として、グローバル選択の形を組み込むこと。
• 予言的制約下で、抽象原理と基礎的集合論の体系との間の関係を確立すること。
• 抽象原理と第二順序算術の断片との間の関係を示す、フレーゲの定理の予言的類似物を提供すること。

提案手法

• 弱い背景となる第二順序論理において、同値関係が証明可能に同値関係である抽象原理をすべて含む予言的フレーゲ理論を構築すること。
• 体系の表現的および解釈的力強化を目的として、グローバル選択の形を導入すること。
• フレーゲの『基礎法則』に由来する集合論的構成を用いて、フォン・ノイマンによる基礎の公理の相対的整合性証明を模倣すること。
• ブルラリ＝フォルティの背理に関連する抽象原理を用いて、整礎性の検査の複雑さを低減すること。
• 得られた体系が、Kripke-Platek集合論の変種KPN∗を解釈できることを示すこと。
• KPN∗が第二順序ペアノ算術の予言的部分体系Σ₁¹-ACを解釈することを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンprehヘンションが予言的形に制限された場合の抽象原理の解釈的強さは何か？
• RQ2 グローバル選択を含む予言的フレーゲ理論は、基礎的集合論を解釈できるか？
• RQ3 フォン・ノイマンによる整礎性の構成は、予言的抽象に基づく体系内でどのように模倣できるか？
• RQ4 ブルラリ＝フォルティの背理に関連する抽象原理は、整礎性の検査を簡略化するためにどのように役立つか？
• RQ5 得られた体系は、フレーゲの定理の予言的類似物を提供するか？

主な発見

• 予言的フレーゲ理論は、Kripke-Platek集合論の変種KPN∗を解釈する。
• 体系KPN∗は、第二順序ペアノ算術の予言的部分体系Σ₁¹-ACを解釈する。
• 証明は、『基礎法則』風の集合論的資源を用いて、フォン・ノイマンによる基礎の公理の相対的整合性証明を模倣することに依拠している。
• ブルラリ＝フォルティの背理に関連する抽象原理が、整礎性の検査の複雑さを低減するために用いられている。
• 結果として、フレーゲの定理の予言的類似物が確立され、予言的制約下で抽象原理の適用範囲が拡張された。
• 体系は予言的コンprehヘンションと整合的でありながら、顕著な解釈的強さを達成している。