[論文レビュー] The Stress-Intensity Factor for nonsmooth fractures in antiplane elasticity

Antonin Chambolle, Antoine Lemenant|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Composite Material Mechanics参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非滑らかで閉じており、連結な破壊に対して、応力集中係数（SIF）の存在と特徴付けを確立する。ボネットの単調性公式とΓ収束を用いて、破壊面上の密度1/2の点において、変位場の吹き出し極限が滑らかでない破壊に対しても、古典的なき裂先端関数 √r sin(θ/2) に収束し、明確に定義されたSIFを持つことを証明する。滑らかさの仮定は一切不要である。

ABSTRACT

Motivated by some questions arising in the study of quasistatic growth in brittle fracture, we investigate the asymptotic behavior of the energy of the solution $u$ of a Neumann problem near a crack in dimension 2. We consider non smooth cracks $K$ that are merely closed and connected. At any point of density 1/2 in $K$, we show that the blow-up limit of $u$ is the usual "cracktip" function $\\sqrt{r}\\sin(\ heta/2)$, with a well-defined coefficient (the "stress intensity factor" or SIF). The method relies on Bonnet's monotonicity formula \\cite{b} together with $\\Gamma$-convergence techniques.

研究の動機と目的

• 滑らかさを要件としない、単に閉じており連結な破壊に対し、古典的な応力集中係数（SIF）の概念を拡張すること。
• エネルギーに基づく解析を用いて、非滑らかな領域におけるき裂先端付近の変位場の漸近的挙動を確立すること。
• き裂上での密度1/2の点の周囲の小さな近傍における正規化エネルギーfluxの極限として、SIFを厳密に定義すること。
• 最小限の正則性仮定の下で、古典的なき裂先端場 √r sin(θ/2) を非滑らかな破壊に一般化すること。
• C¹,¹ や解析的正則性がなくてもSIFが正当化される、き裂破壊の変分モデルの基盤を提供すること。

提案手法

• 非滑らかな領域におけるエネルギー関数のボネットの単調性公式を適用し、き裂先端付近での解の吹き出し挙動を制御する。
• Γ収束の技法を用いて、周囲半径が0に近づく際のスケーリングされたエネルギー積分の極限を分析する。
• 変位場 u_r(x) = r^(-1/2) u(r x) の吹き出し列を用いて、き裂先端付近の漸近的プロファイルを抽出する。
• 吹き出し列の勾配のL²強収束を確立し、極限プロファイルの一意性を保証する。
• 同次性と球面調和関数分解を用いて、極限関数が1/2次同次かつき裂上でのノイマン境界条件を満たすことを示す。
• エネルギー積分を用いて、√r sin(θ/2) プロファイルの前方定数を明示的に計算し、C = √(2C₀/π) を得る。ここでC₀は正規化エネルギーの極限である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでないが、閉じており連結なき裂に対し、応力集中係数（SIF）を厳密に定義できるか？
• RQ2 密度1/2の点における非滑らかなき裂上での、変位場の吹き出し極限が、古典的なき裂先端場 √r sin(θ/2) に収束するか？
• RQ3 C¹,¹ や解析的正則性がなくても、SIFが最小限の正則性仮定のもとで適切に定義され、有限であるか？
• RQ4 C¹,¹ や解析的き裂を超えて、き裂先端付近の変位場の古典的漸近展開を一般化できるか？
• RQ5 一般の場合において、正規化エネルギーの極限と、き裂先端関数の係数との正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の密度1/2の点 x₀ ∈ K において、r → 0 のとき、正規化エネルギー ∫_{B(x₀,r)∖K} (A∇u)·∇u dx / r の極限が存在し、有限である。
• 変位場 u_r の吹き出し極限は H¹_loc で √(2C₀/π) sin(θ/2) に強く収束する。ここでC₀はエネルギー極限である。
• 極限関数は、半直線の補集合におけるディリクレエネルギーの唯一の最小化子である。これにより、き裂先端プロファイルが確認される。
• SIF係数は、半径Rの円板上でのエネルギー積分から明示的に √(2C₀/π) として得られる。
• 吹き出し列の収束はコンパクト集合上で一様であり、極限は列の選び方によらず一意である。
• 係数行列 A(x) が一様強凸かつホルダー連続である限り、定数でなくても本結果は成り立つ。