[論文レビュー] The Strong 3SUM-INDEXING Conjecture is False

Tsvi Kopelowitz, Ely Porat|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2019

Algorithms and Data Compression参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、FiatとNaorのアルゴリズムを用いた関数の逆算への還元と、複数のハッシュ関数を用いたデランドマイズドハッシュ戦略により、高確率で正しさを保証する、決定的アルゴリズムを提示することで、強い3SUM-インデクシング予想を反証している。このアルゴリズムは、任意の $ \theta > 0 $ に対して $ O(n^{2-\theta}) $ の空間と $ O(n^{\theta}) $ のクエリ時間で3SUM-インデクシング問題を解く。

ABSTRACT

In the 3SUM-Indexing problem the goal is to preprocess two lists of elements from $U$, $A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ and $B=(b_1,b_2,...,b_n)$, such that given an element $c\in U$ one can quickly determine whether there exists a pair $(a,b)\in A imes B$ where $a+b=c$. Goldstein et al.~[WADS'2017] conjectured that there is no algorithm for 3SUM-Indexing which uses $n^{2-Ω(1)}$ space and $n^{1-Ω(1)}$ query time. We show that the conjecture is false by reducing the 3SUM-Indexing problem to the problem of inverting functions, and then applying an algorithm of Fiat and Naor [SICOMP'1999] for inverting functions.

研究の動機と目的

• 任意の $ \theta > 0 $ に対して $ n^{2-\theta} $ の空間と $ n^{1-\theta} $ のクエリ時間で実行可能なアルゴリズムが存在しないという、広く受け入れられている強い3SUM-インデクシング予想に挑戦すること。
• 高度なデータ構造技術を用いて、予想される下界を破る実用的な3SUM-インデクシング問題のアルゴリズムを設計すること。
• 一般化されたKSUM-インデクシング問題への拡張を行い、最悪ケースおよびランダム入力の両方における性能を分析すること。
• 具体的なアルゴリズムを構築することで、予想が誤りであることを示すこと。このアルゴリズムは、証明可能なサブクアドレティックな空間とサブラインアーなクエリ時間を持つ。

提案手法

• KSUM-インデクシング問題を、$ f: [n]^{k-1} \to [n]^{k-1} $ という関数 $ f $ の逆算に還元する。ここで $ f $ はインデックスタプルを対応する和のハッシュ値にマッピングする。
• FiatとNaorの関数逆算アルゴリズムを採用し、$ S \cdot T^3 = N^3 $ を満たす $ \tilde{O}(S) $ の空間と $ \tilde{O}(T) $ のクエリ時間で実行する。ここで $ N = n^{k-1} $ である。
• 各出力集合内の和が高確率で一意にマッピングされるように保証するため、$ O(\log n) $ 個のペアワイズ独立なハッシュ関数 $ h_\ell $ を使用する。
• 各ハッシュ関数 $ h_\ell $ に対して、$ g $ が与えられたインデックスにおける要素の和を計算するものとして、$ f_\ell = h_\ell \circ g $ の逆関数を事前に計算する。
• クエリ時、すべての $ f_\ell^{-1}(h_\ell(c)) $ をチェックし、各プレイメージに対し実際の和を計算し、いずれかがターゲット $ c $ と一致すれば 'yes' を返す。
• 無制限の事前処理時間を活用して、すべての関連する和が何れかの $ \ell $ に対して $ h\_\ell $-シングルトン（一意マッピング）であるようにハッシュ関数を決定的に選択することで、正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブクアドレティックな空間とサブラインアーなクエリ時間で実行可能なアルゴリズムを構築することで、強い3SUM-インデクシング予想を反証できるか？
• RQ2 3SUM-インデクシング問題を、効率的な空間-時間トレードオフを可能にする関数の逆算に還元することは可能か？
• RQ3 3SUM-インデクシングのランダムインスタンスでは、アルゴリズムの性能はどのように変化し、トレードオフは改善可能か？
• RQ4 ハッシュベースの関数逆算にデランドマイズド技術を適用することで、確率的仮定に依存せずに正しさを保証できるか？

主な発見

• 強い3SUM-インデクシング予想は誤りである：任意の $ 0 < \delta < 1 $ に対して、$ O(n^{2 - \delta/3}) $ の空間と $ O(n^{\delta}) $ のクエリ時間を持つアルゴリズムが存在する。
• $ \delta = 3/4 $ の場合、アルゴリズムは $ n^{1.75} $ の空間と $ n^{0.75} $ のクエリ時間で動作し、予想される下界を破る。
• 3SUM-インデクシングのランダムインスタンスでは、関数逆算コストのタイトなトレードオフにより、空間の上限が $ O(n^{1.625}) $ に改善され、$ n^{0.75} $ のクエリ時間で動作する。
• 各出力集合内の和が高確率で一意にハッシュ可能であることを保証するために、$ O(\log n) $ 個のペアワイズ独立なハッシュ関数が使用される。
• 事前処理段階でハッシュ関数を決定的に選択することで、正しさが保証され、確率的保証に依存しなくなる。
• コア技術である、FiatとNaorのアルゴリズムによる関数逆算へのKSUM-インデクシングの還元は、インデクシング問題におけるサブクアドレティックな空間とサブラインアーなクエリ時間の一般フレームワークを提供する。