[論文レビュー] The strong Fatou property of risk measures

Shengzhong Chen, Niushan Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Risk and Portfolio Optimization被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、再配置不変空間上でのクェイジコン vex かつ法則に依存しないリスク尺度の取り扱いやすい双対表現を保証するための最適な連続性条件として、強 Fatou 性質が成立することを確立している。この論文は、このような汎関数が、σ(X, L∞)-下半連続であるための必要十分条件が強 Fatou 性質であること、さらに、法則に依存するか余剰に依存するリスク尺度において、この性質がインフラクソリューションの下でも保存されることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we explore several Fatou-type properties of risk measures. The paper continues to reveal that the strong Fatou property, which was introduced in [17], seems to be most suitable to ensure nice dual representations of risk measures. Our main result asserts that every quasiconvex law-invariant functional on a rearrangement invariant space $\mathcal{X}$ with the strong Fatou property is $σ(\mathcal{X},L^\infty)$ lower semicontinuous and that the converse is true on a wide range of rearrangement invariant spaces. We also study inf-convolutions of law-invariant or surplus-invariant risk measures that preserve the (strong) Fatou property.

研究の動機と目的

• 一般の再配置不変（r.i.）空間上でのリスク尺度に対して双対表現を保証するための強 Fatou 性質の役割を明確化すること。
• 古典的 Fatou 性質が、特に LΦ にあたるオーリッチ空間において、取り扱いやすい双対表現を保証しないという問題を解決すること。
• 再配置不変空間上でのクェイジコン vex かつ法則に依存する汎関数に対して、強 Fatou 性質と σ(X, L∞)-下位半連続性との間に双対性を確立すること。
• 法則に依存するか余剰に依存するリスク尺度に対して、インフラクソリューションの下での強 Fatou 性質の保存性を調査すること。
• 再配置不変空間の文脈において、強 Fatou 性質、ノルム下位半連続性、および他の Fatou 型性質との関係を明確化すること。

提案手法

• 著者は、固定された確率空間 (Ω, F, P) 上の再配置不変（r.i.）関数空間 X において作業しており、オーリッチ空間や Lp 空間を含む。
• 標準的 Fatou 性質、上位 Fatou 性質、強 Fatou 性質という3つの Fatou 型性質を定義し、比較している。後者は、ノルム有界性とほとんど確実収束を要件としている。
• 主な技術的道具は、位相的双対空間 L∞ と σ(X, L∞)-位相であり、これにより双対に基づく特徴付けが可能になる。
• 証明は、双対オーリッチ空間 LΨ のハート HΨ の性質と順序連続ノルムの使用に依存している。
• 著者はバナッハ同型定理と順序イデアルの性質を用いて、ノルム同値性と下位半連続性を確立している。
• フェッケル＝モラウ双対性などの関数解析の結果を応用し、強 Fatou 性質と σ(X, L∞)-下位半連続性との関連を結びつけている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再配置不変空間 X 上のクェイジコン vex かつ法則に依存する汎関数に対して、強 Fatou 性質は σ(X, L∞)-下位半連続性の必要十分条件か？
• RQ2 オーリッチ空間において、強 Fatou 性質はノルム下位半連続性および他の Fatou 型性質とどのように関係するか？
• RQ3 法則に依存するか余剰に依存するリスク尺度に対して、インフラクソリューションの下でも強 Fatou 性質は保存されるか？
• RQ4 L∞ 及びその双対が強 Fatou 性質の特徴付けに果たす役割は何か？
• RQ5 モデル空間 X にどのような条件下で、強 Fatou 性質が他の形式の下位半連続性を意味するか、またはそれらと一致するか？

主な発見

• 再配置不変空間 X 上に強 Fatou 性質を有するクェイジコン vex かつ法則に依存する汎関数は、すべて σ(X, L∞)-下位半連続である。
• 広範な再配置不変空間のクラスにおいて、逆に、σ(X, L∞)-下位半連続性は、クェイジコン vex かつ法則に依存する汎関数に対して強 Fatou 性質を意味する。
• オーリッチ空間 LΦ 上のクェイジコン vex 汎関数に対して、強 Fatou 性質は σ(X, HΨ)-下位半連続性と同値である。ここで HΨ は双対空間 LΨ のハートである。
• オーリッチ空間上での法則に依存する汎関数に対して、強 Fatou 性質は σ(X, LΨ)-下位半連続性、σ(X, HΨ)-下位半連続性、および σ(X, L∞)-下位半連続性と同値である。
• 法則に依存するか余剰に依存するリスク尺度に対して、インフラクソリューションの下でも強 Fatou 性質は保存される。
• 性質 (⋆) — すなわち、X の順序連続部分の双対が L∞ でない — は、非自明なノルム有界で、ほとんど確実に消えるが期待値が非ゼロであるような列の存在と同値であり、強 Fatou 性質が σ(X, L∞)-下位半連続性を意味するための必要条件である。