[論文レビュー] The structure of a local embedding and applications to Chern classes of weighted blow-ups

Anca Mustaţǎ, Andrei Mustaţǎ|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、目標となるスタック $X$ のエタールかつ普遍的閉包である $X'$ を用いて、非分離なデリン・ムーディ・スタック $X'$ を構成する。この構成により、写像 $X' \to X$ が固有でない場合でも、チャウ群へのプッシュフォワードが可能になる。構成により、固有局所埋め込みが $X'$ 上で閉埋め込みに分解され、重み付きブローアップのチャーン類が重み付き正規被包への変形と局所化を用いて計算可能になる。応用は、安定写像のモジュライ空間に向けられる。

ABSTRACT

For a proper local embedding between two Deligne--Mumford stacks Y and X, we find, under certain mild conditions, a new (possibly non-separated) Deligne--Mumford stack X', with an etale, surjective and universally closed map to the target X, and whose fiber product with the image of the local embedding is a finite union of stacks with corresponding etale, surjective and universally closed maps to Y. Moreover, a natural set of weights on the substacks of X' allows the construction of a universally closed push-forward, and thus a comparison between the Chow groups of X' and X. We apply the construction above to the computation of the Chern classes of a weighted blow-up along a regular local embedding via deformation to a weighted normal cone and localization. We describe the stack X' in the case when X is the moduli space of stable maps with local embeddings at the boundary. We apply the methods above to find the Chern classes of the stable map spaces.

研究の動機と目的

• 固有局所埋め込みを非分離スタック上で閉埋め込みに分解することで、重み付きブローアップへのチャーン類およびチャウ群の理論を拡張すること。
• チャーン類やチャウ環の構造といったグローバル不変量を捉えるために、局所的構成の限界を克服すること。
• 特にモジュライ問題の文脈において、固有局所埋め込みの文脈でリーマン・ローチ型定理のフレームワークを提供すること。
• 安定写像のモジュライ空間の境界除集合を伴うチャーン類の計算にこの手法を応用すること。

提案手法

• エタールかつ普遍的閉包で、かつ $g(Y)$ の外では同型であるような、$X' \to X$ による非分離なデリン・ムーディ・スタック $X'$ を構成する。
• スタック $X$ の選ばれたアトラスに伴う、局所埋め込み $g: Y \to X$ の構造を、チャートと貼り合わせデータの系として記述する局所埋め込みのネットワークを定義する。
• 固有性の値関手的特徴付けから導かれる重み関数 $w$ を $X'$ の部分スタックに割り当て、普遍的閉包プッシュフォワード $p_*: A_*(X') \to A_*(X)$ を定義する。
• 重み付き正規被包への変形と局所化の技術を用いて、重み付きブローアップのチャーン類を計算する。
• スタックのネットワークに関連する拡張チャウ環と $A_*(X')$ の間に同型を確立し、グローバル不変量を局所データから計算可能にする。
• モジュライ空間 $\overline{M}_{0,m}(\mathbb{P}^n,d)$ にこのフレームワークを適用し、$X'$ が $\overline{M}^\prime_{0,m}(\mathbb{P}^n,d)$ として、マークド成分を伴う安定写像のモジュライ問題として特定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有局所埋め込み $g: Y \to X$ に対して、写像が固有でない場合に、チャウ群への普遍的閉包プッシュフォワードをどのように構成できるか。
• RQ2 非分離スタックが、重み付きブローアップのチャーン類といったグローバル不変量を解消するために果たす役割は何か。
• RQ3 局所埋め込みの構造をスタックのネットワークとして表現することで、周囲空間のチャウ群を回復できるか。
• RQ4 $X'$ の部分スタックに割り当てた重み関数は、値関手的特徴付けとプッシュフォワードのサイクルにどのように関係するか。
• RQ5 安定写像のモジュライ空間の文脈において、スタック $X'$ のモジュライ的解釈は何か。

主な発見

• スタック $X'$ は、$A_*(X')$ から $A_*(X)$ への普遍的閉包プッシュフォワード $p_*$ を提供し、$X' \to X$ が固有でない場合でも $A_*(X)$ を $p_*$ を用いて回復可能である。
• 局所埋め込み $g: Y \to X$ に関連するスタックのネットワークの拡張チャウ環は $A_*(X')$ と同型であり、グローバル不変量を局所データから計算可能にする。
• モジュライ空間 $\overline{M}_{0,m}(\mathbb{P}^n,d)$ の場合、スタック $X'$ は $\overline{M}^\prime_{0,m}(\mathbb{P}^n,d)$ として特定され、マークド成分を伴う安定写像のモジュライ問題として定式化される。
• 正則局所埋め込みに沿った重み付きブローアップのチャーン類は、重み付き正規被包への変形と局所化を用いて計算可能であり、$X'$ 上のプッシュフォワードを活用する。
• エタールアトラスの整合性を保つことで、ブローアップにおける対称性の破れを回避し、グローバルなブローアップ構成の失敗を防ぐ。
• 重み付きプロジェクト型スタック $\mathcal{P}[w_0:\dots:w_n]$ の接バンドルは、重み $w_i$ を含む変換則によってグローバルに定義され、微分が重み付き斉次性の下で変化する。