[論文レビュー] The structure of corings: Induction functors, Maschke-type theorem, and Frobenius and Galois-type properties

Tomasz Brzeziński|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、誘導関手、分離性、Frobenius/Galois型性質に注目して、コリングの圏論的枠組みを構築する。コモジュールからモジュールへの忘却関手が分離的またはFrobenius的であるための条件を確立し、Galoisコリングを定義し、誘導関手が同値であることと、コリングがGalois的であり、基本環が余不変部分環上に忠実平坦であることの必要十分条件であることを証明する。

ABSTRACT

Given a ring $A$ and an $A$-coring $\cC$ we study when the forgetful functor from the category of right $\cC$-comodules to the category of right $A$-modules and its right adjoint $-\otimes_A\cC$ are separable. We then proceed to study when the induction functor $-\otimes_A\cC$ is also the left adjoint of the forgetful functor. This question is closely related to the problem when $A o {}_A{ m Hom}(\cC,A)$ is a Frobenius extension. We introduce the notion of a Galois coring and analyse when the tensor functor over the subring of $A$ fixed under the coaction of $\cC$ is an equivalence. We also comment on possible dualisation of the notion of a coring.

研究の動機と目的

• A-コリング上の右コモジュールの圏から右A-モジュールの圏への忘却関手がいつ分離的であるかを調査すること。
• 誘導関手 $-\otimes_A \mathcal{C}$ が忘却関手に対して左および右随伴となる、すなわちFrobenius関手であるための条件を特定すること。
• Galoisコリングを定義し、その分析を行う。ここで、余不変部分への誘導関手が圏の同値性をもつ。
• C-代数的構造を用いて双対的構成を検討し、コモジュール関手や双対分離性条件といった双対構造への結果の拡張を検討すること。

提案手法

• 忘却関手 $U: \mathbf{M}^\mathcal{C} \to \mathbf{M}_A$ 及びその右随伴 $-\otimes_A \mathcal{C}$ を用いて、分離性およびFrobenius的性質を研究する。
• コリング $\mathcal{C}$ のコ分離性の概念を適用し、コモジュールに対するMaschke型定理を導出する。
• A が右 $\mathcal{C}$-コモジュールであるとき、A 内の余不変部分環 $B$ を用いてGaloisコリングの概念を導入する。
• A が左B-モジュールとして忠実平坦であり、$\mathcal{C}$ がGaloisであるとき、$-\otimes_B A$ が同値であることの必要十分条件を確立する。
• A-コリングの双対として $C$-代数的構造を導入し、分離性およびFrobenius的条件の双対版を定式化する。
• Sweedlerの記法を用いてコ作用およびコ積を記述し、両側加群写像およびコイデアル条件を用いて不変量および余不変量を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コモジュールからA-モジュールへの忘却関手がいつ分離的か？
• RQ2 誘導関手 $-\otimes_A \mathcal{C}$ が忘却関手に対して左および右随伴となる条件は何か？
• RQ3 誘導関手 $-\otimes_B A$ がB-モジュールから$\mathcal{C}$-コモジュールへの同値関手となる条件は何か？
• RQ4 コリング理論をどのように $C$-代数的構造に双対化できるか。また、分離性およびFrobenius的性質の双対版は何か？
• RQ5 Frobenius拡大 $A \to {}_A\mathrm{Hom}(\mathcal{C}, A)$ と誘導関手のFrobenius的性質との関係は何か？

主な発見

• 忘却関手 $U: \mathbf{M}^\mathcal{C} \to \mathbf{M}_A$ が分離的であることと、コリング $\mathcal{C}$ がコ分離的であることとは同値である。
• 誘導関手 $-\otimes_A \mathcal{C}$ がFrobenius関手であることと、$A \to {}_A\mathrm{Hom}(\mathcal{C}, A)$ がFrobenius拡大であることとは同値である。
• コリング $\mathcal{C}$ がGaloisであるとは、$B$ を $A$ 内の余不変部分環としたとき、標準的写像 $\chi: \mathcal{C} \to A \square_B A$ が同型であることである。
• もし $\mathcal{C}$ が左A-モジュールとして平坦であれば、$-\otimes_B A: \mathbf{M}_B \to \mathbf{M}^\mathcal{C}$ が同値であることと、$A$ が左B-モジュールとして忠実平坦であり、$\mathcal{C}$ がGaloisであることとは同値である。
• 関手 $\mathbf{M}_\mathcal{A} \to \mathbf{M}^C$ の双対は関手 $-\square_C \mathcal{A}$ であり、これが分離的であることと、$\mathcal{A} \to k$ となる写像 $e$ が存在して $ (e \otimes C) \circ \rho^\mathcal{A} = (C \otimes e) \circ {}^\mathcal{A}\rho $ および $ e \circ \eta_\mathcal{A} = \epsilon $ を満たすこととは同値である。
• C-代数的構造 $\mathcal{A}$ に対して、Galois C-代数的構造は同型 $\chi: \mathcal{A} \to C \square_B C$ を用いて定義され、$\kappa = (\epsilon \square_B \epsilon) \circ \chi$ を満たす。ここで $\kappa$ は非自明な特徴である。