[論文レビュー] The structure of crossed products of irrational rotation algebras by finite subgroups of SL_2 (Z)

Siegfried Echterhoff, Wolfgang Lueck+2 more|ArXiv.org|Sep 28, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 39被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、無理数回転C*-代数 $A_\theta$ とその有限部分群 $F \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$（特に $\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_3$, $\mathbb{Z}_4$, $\mathbb{Z}_6$）による交叉積が、$\theta$ が無理数のときAF代数であることを確立している。$K$-理論の計算、ユニバーサル係数定理、およびトレース的Rokhlin性質を用いて、これらの交叉積がトレース的ランク0であり、$K_0$-群によって分類可能であることを証明し、$\theta \mapsto \pm\theta \mod \mathbb{Z}$ の意味で完全な同型分類が得られる。

ABSTRACT

Let F be a finite subgroup of SL_2 (Z) (necessarily isomorphic to one of Z/2Z, Z/3Z, Z/4Z, or Z/6Z), and let F act on the irrational rotational algebra A_θ via the restriction of the canonical action of SL_2 (Z). Then the crossed product of A_θ by F, and the fixed point algebra for the action of F on A_θ, are AF algebras. The same is true for the crossed product and fixed point algebra of the flip action of Z/2Z on any simple d-dimensional noncommutative torus A_Θ. Along the way, we prove a number of general results which should have useful applications in other situations.

研究の動機と目的

• 有限部分群 $F \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ が無理数回転代数に作用する際の交叉積 $A_\theta \rtimes_\alpha F$ の構造を特定すること。
• $F = \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_4, \mathbb{Z}_6$ および無理数 $\theta$ の場合に、これらの交叉積がAF代数であることを証明すること。
• このような交叉積の完全な同型分類を $\theta$ および群の位数の観点から確立すること。
• 結果を高次元非可換トーラスにおけるフリップ作用へ拡張し、それらの交叉積がAF代数であることを証明すること。

提案手法

• $F \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ が $A_\theta$ に作用する様子から導かれる明示的な生成子と関係式を用いて、交叉積の $K_0$-群を計算すること。
• コサイクルを半直積へ拡張することで、交叉積がユニバーサル係数定理を満たすことを検証すること。
• 作用がトレース的Rokhlin性質を満たすことを証明し、トレース的ランク0を保証することで、AF分類の鍵となる条件を満たすこと。
• トレース的ランク0をもつC*-代数の分類定理（Huaxin Linの定理）を適用し、AF構造を結論づけること。
• AF代数の分類定理（George Elliottの定理）を用いて $K_0$-群を比較し、$\theta' = \pm\theta \mod \mathbb{Z}$ のとき $A_\theta \rtimes_\alpha F$ と $A_{\theta'} \rtimes_\alpha F$ が同型であることを確立すること。
• 高次元非可換トーラスへの結果の拡張として、フリップ作用を用い、非退化な歪対称行列 $\Theta$ に対して $A_\Theta \rtimes_\varphi \mathbb{Z}_2$ がAF代数であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限部分群 $F \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ および無理数 $\theta$ に対して、交叉積 $A_\theta \rtimes_\alpha F$ はAF代数か？
• RQ2 $F = \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_4, \mathbb{Z}_6$ のとき、$A_\theta \rtimes_\alpha F$ の $K_0$-群の構造は何か？
• RQ3 このような二つの交叉積が同型である条件は何か？
• RQ4 固定点代数 $A_\theta^F$ は、交叉積から引き継いでAF性質を有するか？
• RQ5 結果を高次元非可換トーラスにおけるフリップ作用へ拡張できるか？

主な発見

• すべての $F = \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_4, \mathbb{Z}_6$ および無理数 $\theta$ に対して、交叉積 $A_\theta \rtimes_\alpha F$ はAF代数である。
• $A_\theta \rtimes_\alpha \mathbb{Z}_2$ の $K_0$-群は $\mathbb{Z}^6$ に同型であり、トレース的状態の像は $\frac{1}{2}(\mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z})$ に一致する。
• $A_\theta \rtimes_\alpha \mathbb{Z}_3$ の $K_0$-群は $\mathbb{Z}^8$ に同型であり、像は $\frac{1}{3}(\mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z})$ に一致する。
• $A_\theta \rtimes_\alpha \mathbb{Z}_4$ の $K_0$-群は $\mathbb{Z}^9$ に同型であり、像は $\frac{1}{4}(\mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z})$ に一致する。
• $A_\theta \rtimes_\alpha \mathbb{Z}_6$ の $K_0$-群は $\mathbb{Z}^{10}$ に同型であり、像は $\frac{1}{6}(\mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z})$ に一致する。
• 交叉積 $A_\theta \rtimes_\alpha F$ と $A_{\theta'} \rtimes_\alpha F$ が同型であるための必要十分条件は、$k = l$ かつ $\theta' \equiv \pm\theta \mod \mathbb{Z}$ である。