[論文レビュー] The Structure of Decoherence-free Subsystems

Ji Guan, Yuan Feng+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、オープンな量子系におけるデコherenceフリー部分空間の包括的な構造理論を構築し、新規のアルゴリズムを用いてすべての最大部分空間を体系的に特定可能にする。既知のノイズレス部分空間の構造を一般化することで、ヒルベルト空間の分解が得られ、超作用素がデコherenceフリーのダイナミクスをどのように決定するかを明らかにする。この理論は、行列積状態および量子多体系への応用を含む。

ABSTRACT

Decoherence-free subsystems have been successfully developed as a tool to preserve fragile quantum information against noises. In this letter, we develop a structure theory for decoherence-free subsystems. Based on it, we present an effective algorithm to construct a set of maximal decoherence-free subsystems in the sense that any other such subsystem is a subspace of one of them. As an application of these techniques in quantum many body systems, we propose a simple and numerically robust method to determine if two irreducible tensors are repeated, a key step in deciding if they are equivalent in generating matrix product states.

研究の動機と目的

• デコherenceフリー部分空間の完全な構造理論を確立し、既存のノイズレス部分空間理論を一般化すること。
• 与えられた量子操作（超作用素）に対して、すべてのデコherenceフリー部分空間、特に最大部分空間を体系的に同定するための方法の欠如を解消すること。
• 任意のデコherenceフリー部分空間が、そのうちの1つの部分空間の部分空間であるような最大デコherenceフリー部分空間の集合を構成する、数値的に安定したアルゴリズムを提供すること。
• 構造理論を行列積状態に応用し、量子多体系における不変成分のテンソル基底を効率的に計算可能にする。

提案手法

• ヒルベルト空間の一意的な直交分解を導入：$\mathcal{H} = \bigoplus_{l=1}^{L} \mathcal{X}_l \oplus \mathcal{K}$ で、各 $\mathcal{X}_l$ は連続的なコherーングを有する互いに直交する最小部分空間のブロックである。
• 最小部分空間間の連続的コherenceを対称的かつ推移的関係として定義し、同値類を形成することで $\mathcal{X}_l$ ブロックを構成する。
• 超作用素 $\mathcal{E}$ のクラウス演算子を、ユニタリ位相 $U_l = \text{diag}(e^{i\theta_{l,p}})$ を持つブロック対角形に表現し、各 $\mathcal{X}_l$ 内のコherentな時間発展を反映する。
• $\mathcal{E}$ の固定点の構造 $\text{fix}(\mathcal{E}) \simeq \bigoplus_l [\mathcal{L}(\mathbb{C}^{m_l}) \otimes \rho_l] \oplus 0_\mathcal{K}$ を用いて、デコherenceフリー部分空間を特徴付ける。
• $\mathcal{X}_l$ ブロックの特定と、$\mathcal{X}_l \simeq \mathbb{C}^{m_l} \otimes \mathcal{B}_l$ への分解によりアルゴリズムを構築し、ここで $\mathcal{B}_l$ は有効チャネル $\mathcal{E}_l$ に対して不変である。
• 行列積状態への適用では、不変テンソルが繰り返されているかどうかを特定し、導出された基底を用いて同じ状態を生成するかをテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デコherenceフリー部分空間の構造は、基礎となる超作用素の観点からどのように体系的に特徴付けられるか？
• RQ2 最小部分空間間の連続的コherenceと、ヒルベルト空間がデコherenceフリー・ブロックに分解されることの正確な関係は何か？
• RQ3 任意の与えられた超作用素に対して、すべての最大デコherenceフリー部分空間を特定する完全なアルゴリズムを開発可能か？
• RQ4 この構造理論を用いて、行列積状態の構成における不変テンソルの同値性をどのように特定できるか？
• RQ5 固定点代数 $\text{fix}(\mathcal{E})$ は、最大デコherenceフリー部分空間を同定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、一意的な直交分解 $\mathcal{H} = \bigoplus_{l=1}^{L} \mathcal{X}_l \oplus \mathcal{K}$ を確立し、各 $\mathcal{X}_l$ が最大デコherenceフリー部分空間に対応することを示した。
• 各 $\mathcal{X}_l$ は $\mathcal{X}_l \simeq \mathbb{C}^{m_l} \otimes \mathcal{B}_l$ に分解され、ここで $\mathcal{B}_l$ は有効チャネル $\mathcal{E}_l$ に対して不変であり、超作用素 $\mathcal{E}$ のクラウス演算子はユニタリ位相 $U_l$ を持つブロック構造を示す。
• 固定点代数 $\text{fix}(\mathcal{E})$ は $\bigoplus_l [\mathcal{L}(\mathbb{C}^{m_l}) \otimes \rho_l] \oplus 0_\mathcal{K}$ に同型であり、ここで $\rho_l$ は $\mathcal{E}_l$ の一意な定常状態である。これにより、ノイズレス部分空間の構造が特別な場合として確認された。
• アルゴリズムにより、任意の他のデコherenceフリー部分空間が、そのうちの1つの最大部分空間の部分空間であるような最大デコherenceフリー部分空間の集合が構成され、完全な分類が可能となった。
• この手法により、行列積状態の構成における2つの不変テンソルが繰り返されているかどうかを、数値的に安定して同定可能であり、これはテンソル同値性をテストするための重要なステップである。
• このフレームワークはノイズレス部分空間理論を一般化し、離散的および連続的時間の両方の量子系におけるデコherenceフリーのダイナミクスを特定する線形代数的でアルゴリズム的なアプローチを提供する。