[論文レビュー] The structure of Hopf algebras giving Hopf-Galois structures on Quaternionic extensions

Stuart Jonathon Taylor, Paul J. Truman|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、四元数群 $Q_8$ に同型なガロア群をもつガロア拡大におけるすべてのホップ＝ガロア構造を分類し、体 $F$ が標数 0 のとき、それらに付随するホップ代数がホップ代数として、および $F$-代数として、いつ同型であるかを特定する。明示的なウェダーバーン＝アルティン分解を計算し、ホップ代数の $F$-代数構造が、関連する四元数代数の同型類に依存しており、代数が分解可能か分割代数かに応じて3通りの異なる場合があることを示している。

ABSTRACT

Let $L/F$ be a Galois extension of fields with Galois group isomorphic to the quaternion group of order $ 8 $. We describe all of the Hopf-Galois structures admitted by $ L/F $, and determine which of the Hopf algebras that appear are isomorphic as Hopf algebras. In the case that $ F $ has characteristic zero we also determine which of these Hopf algebras are isomorphic as $ F $-algebras and explicitly compute their Wedderburn-Artin decompositions.

研究の動機と目的

• ガロア群が四元数群 $Q_8$ に同型であるガロア拡大 $L/F$ が許容するすべてのホップ＝ガロア構造を分類すること。
• これらの構造から生じるホップ代数が、$F$-ホップ代数としていつ同型であるかを特定すること。
• 体 $F$ が標数 0 のとき、これらのホップ代数のウェダーバーン＝アルティン分解を計算すること。
• これらのホップ代数が $F$-代数としていつ同型であるかを特定すること、特に行列代数および四元数代数への分解を通じて。

提案手法

• グライザー＝パライジスの定理を用い、左正則表現 $\lambda(G)$ によって正規化される $\operatorname{Perm}(G)$ の正規部分群 $N$ を通じてホップ＝ガロア構造を分類する。
• 各々の正規部分群 $N$ に対して、$L[N]$ 上の $G$-作用の固定部分代数 $L[N]^G$ として対応するホップ代数を構成する。
• ホップ代数 $L[D_{s, ho}]^G$、$L[D_{t, ho}]^G$、$L[D_{st, ho}]^G$ の明示的な $F$-基底を計算し、四元数代数に同型な4次元 $F$-部分代数を特定する。
• ウェダーバーン＝アルティン定理を適用して、各ホップ代数を $F$ 上の行列代数および四元数代数の積に分解し、ブレア群を用いて同型型を比較する。
• 得られた四元数代数の同型類をブレア群を用いて分析し、特に $[-1,a]$、$[-1,b]$、$[-1,ab]$ のクラスを比較する。
• $\mathbb{Q}$ 上で例を構成し、3通りの可能な状況を示す：3つの四元数代数すべてが分解可能、ちょうど1つが分解可能、または3つとも同型でない分割代数。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア群が $Q_8$ に同型であるガロア拡大 $L/F$ には、いくつの異なるホップ＝ガロア構造が存在するか？
• RQ2 これらの構造から生じるホップ代数が、$F$-ホップ代数としていつ同型であるか？
• RQ3 体 $F$ が標数 0 のとき、各ホップ代数 $L[N]^G$ のウェダーバーン＝アルティン分解は何か？
• RQ4 ホップ代数が $F$-代数としていつ同型であるか、そしてこれは関連する四元数代数の同型類にどのように依存するか？
• RQ5 これらのホップ代数の $F$-代数構造の可能な同型型は何か？また、体 $F$ の変化に応じてどのように変化するか？

主な発見

• ガロア群が $Q_8$ に同型である $Q_8$-拡大 $L/F$ には、正確に5つのホップ＝ガロア構造が存在し、$\operatorname{Perm}(G)$ の正規部分群 $N$ が5つに同型である。
• 古典的ホップ＝ガロア構造は $N = \rho(G)$ に対応し、群代数 $F[G]$ を与える。一方、標準的な非古典的構造は $N = \lambda(G)$ に対応する。
• 残りの3つの構造は、それぞれ $D_{s,\rho}$、$D_{t,\rho}$、$D_{st,\rho}$ に対応し、対応するホップ代数 $L[N]^G$ は、それぞれ $F^4 \times (-1,a)_F$、$F^4 \times (-1,b)_F$、$F^4 \times (-1,ab)_F$ に同型である。
• 体 $F$ が標数 0 のとき、各ホップ代数の $F$-代数構造は、ウェダーバーン＝アルティン分解によって決定され、4次元部分は $F^4$ であり、残りの部分は四元数代数である。
• ホップ代数が $F$-代数として同型であるのは、その関連する四元数代数が同型である場合に限り、これはブレア群において $(-1,x)_F \cong (-1,y)_F$ が成り立つ場合に正確に一致する。
• 3通りの異なる $F$-代数の同型型が生じる：3つの四元数代数すべてが分解可能（$M_2(F)$ に同型）、ちょうど1つが分解可能、または3つとも同型でない分割代数。これは $\mathbb{Q}$ 上の例によって示されている。