[論文レビュー] The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations

P. Basarab-Horwath, V. Lahno+1 more|ArXiv.org|May 12, 2000

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非線形熱伝導方程式 $u_t = F(t,x,u,u_x)u_{xx} + G(t,x,u,u_x)$ の形をした群分類問題を、低次元実リー代数の理論に基づく体系的な手法を用いて完全に解決している。すべてのこのような方程式が次元5より大きい対称性代数を持たないことを証明し、1次元から5次元の非同値な対称性代数を持つ方程式を分類した。それぞれの次元について、1次元から5次元まで、2つ、34個、35個、6個、1つの方程式が得られた。

ABSTRACT

The present paper solves completely the problem of the group classification of nonlinear heat-conductivity equations of the form\ $u_{t}=F(t,x,u,u_{x})u_{xx} + G(t,x,u,u_{x})$. We have proved, in particular, that the above class contains no nonlinear equations whose invariance algebra has dimension more than five. Furthermore, we have proved that there are two, thirty-four, thirty-five, and six inequivalent equations admitting one-, two-, three-, four- and five-dimensional Lie algebras, respectively. Since the procedure which we use, relies heavily upon the theory of abstract Lie algebras of low dimension, we give a detailed account of the necessary facts. This material is dispersed in the literature and is not fully available in English. After this algebraic part we give a detailed description of the method and then we derive the forms of inequivalent invariant evolution equations, and compute the corresponding maximal symmetry algebras. The list of invariant equations obtained in this way contains (up to a local change of variables) all the previously-known invariant evolution equations belonging to the class of partial differential equations under study.

研究の動機と目的

• 非線形熱伝導偏微分方程式の広範なクラスの完全な群分類問題を解くこと。
• このクラスの式におけるリー不変代数の最大次元を特定すること。
• 1次元から5次元の非同値な対称性代数を持つすべての不変方程式を体系的に分類すること。
• 英語文献でしばしば欠落している低次元リー代数理論の必要な部分について、詳細かつ自己完結的な説明を提供すること。
• 代数的および無限小的手法を用いて、不変方程式を導出およびその最大対称性代数を計算する構成的メソッドを提示すること。

提案手法

• この手法は、PDEクラスに関連するベクトル場空間内における低次元リー代数のすべての実現を分類することに依存する。
• 等価群と最適な部分群系の枠組みを用いて、Ovsjannikovのフレームワークを応用し、体系的に不変方程式を生成する。
• 特に可解的および半単純代数に注目して、5次元以下およびそれ以下の実リー代数のすべての非同値な実現を構築および分析する。
• 基底ベクトル場の交換関係に基づく分類であり、構造定数およびラディカル分解の明示的計算を含む。
• 各不変方程式について、無限小法による決定方程式を解くことによって、最大対称性代数を特定する手順を含む。
• この手法により、局所的変数変換の意味で既知のすべての不変方程式が回復されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形熱伝導方程式 $u_t = F(t,x,u,u_x)u_{xx} + G(t,x,u,u_x)$ の形をした方程式において、リー不変代数の最大次元は何か？
• RQ2 関数 $F$ と $G$ のどの非同値な形が、1次元、2次元、3次元、4次元、または5次元の対称性代数を持つ方程式をもたらすか？
• RQ3 低次元実リー代数の理論を用いて、このような不変方程式を体系的に分類する方法は何か？
• RQ4 このクラスの非線形熱伝導方程式のうち、次元5を超える対称性代数を持つものはあるか？
• RQ5 導出された不変方程式のリストは、局所的変数変換の意味で、これまでに知られているすべての同様の式を含んでいるか？

主な発見

• 研究対象のクラスに属する非線形熱伝導方程式のすべてが、次元5を超えるリー不変代数を持たない。
• 1次元の対称性代数を持つ非同値な方程式はちょうど2つ存在する。
• 2次元の対称性代数を持つ非同値な方程式は34個存在する。
• 3次元の対称性代数を持つ非同値な方程式は35個存在する。
• 4次元の対称性代数を持つ非同値な方程式は6個存在する。
• 5次元の対称性代数を持つ非同値な方程式はちょうど1つ存在する。