[論文レビュー] The structure of stable minimal hypersurfaces in R^n

Huai-Dong Cao, Ying Shen+1 more|ArXiv.org|Aug 30, 1997

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^{n+1}$ 内の完全な安定最小超曲面に対して、新しい位相的障害を確立する：$n \geq 3$ のとき、このような超曲面はたかだか1つのエンドしか持てない。証明は、最小部分多様体におけるソボレフ不等式と、有界調和関数に関するリウヴィル型定理を組み合わせており、複数のエンドが存在すると、非定数の有界調和関数が有限エネルギーを持つことになり、安定性に反する。主な結果は、$n \geq 3$ のとき、$\mathbb{R}^{n+1}$ 内の完全かつ向き付け可能な安定最小超曲面は、位相的に1つのエンドを持つことである。これは $n=2$ の場合の結果を一般化し、$n \geq 8$ の場合の未解決問題を解決する。この手法は体積成長や二重性の仮定を避けており、supp が非コンパクトな切り捨て関数を用いる。

ABSTRACT

We provide a new topological obstruction for complete stable minimal hypersurfaces in R^n. For $n\geq 4$, we prove that any complete orientable stable hypersurfaces in R^n has only one end. This follows from a more general analytic theorem we prove in the paper.

研究の動機と目的

• 完全な安定最小超曲面に対する新しい位相的障害を確立すること。
• $n \geq 3$ のとき、このような超曲面が複数のエンドを持つことができるかどうかという未解決問題を解くこと。
• $n=2$ の既知の結果（$\mathbb{R}^3$ 内の安定最小曲面は平面に限る）を高次元に拡張すること。
• 曲率の仮定に依存しない、調和関数論とソボレフ不等式に基づく位相的制約を提供すること。

提案手法

• 複数のエンドを持つ領域に対して、最小部分多様体におけるソボレフ不等式（Michael-Simon [MS]）を用い、切り捨て関数の $L^p$ ノルムを制御する。
• エクhaustion領域 $D_i$ 上で、1つのエンドで1、他のエンドで0となるディリクレ境界条件を満たす調和関数 $u_i$ の列を構成する。
• 非コンパクトな台を持つ切り捨て関数 $\psi$ を用いて調和関数を局所化し、ソボレフ不等式により一様な $L^p$ バインドを導出する。
• 極限に移行して、$M$ 上の有界調和関数 $u$ と有限ディリクレエネルギーを持つ関数を得る。
• 非負曲率空間内の安定最小超曲面における調和関数のリウヴィル定理（Schoen-Yau [SY]）を適用し、有限エネルギーの有界調和関数は定数であると述べる。
• もし $M$ が無限体積を持つ複数のエンドを持つならば、極限における調和関数 $u$ は定数にはなり得ないことを示し、矛盾を導く。これにより、1つのエンドしかありえないことが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 3$ のとき、$\mathbb{R}^{n+1}$ 内の完全かつ向き付け可能な安定最小超曲面が1つより多くのエンドを持つことができるか？
• RQ2 安定性条件だけが、ビernerクスタイプの定理が成立しない高次元でも、複数エンドを持つ最小超曲面を防ぐのか？
• RQ3 有限エネルギーを持つ非定数の有界調和関数の存在が、安定最小超曲面における位相的障害として利用可能か？
• RQ4 最小部分多様体におけるソボレフ不等式は、体積二重性や成長条件なしに、位相的制約を導くのに十分か？
• RQ5 調和関数のリウヴィル定理を用いて、安定最小超曲面における複数エンドを除外できるか？

主な発見

• $n \geq 3$ のとき、$\mathbb{R}^{n+1}$ 内の任意の完全かつ向き付け可能な安定最小超曲面は、正確に1つのエンドを持つ。
• 無限体積を持つ複数のエンドが存在すると、有限ディリクレエネルギーを持つ非定数の有界調和関数が存在する。
• これは、非負曲率空間内の安定最小超曲面におけるリウヴィル定理に反する。この定理は、このような調和関数が定数でなければならないと述べる。
• 証明は、体積二重性や多項式的体積成長の仮定を必要とせず、代わりに非コンパクトな台を持つ切り捨て関数に依存する。
• この結果は、$n=2$ の場合（$\mathbb{R}^3$ 内の安定最小曲面は平面に限る）を高次元に一般化する。
• この手法により、新たな一般結果が得られる：任意の完全非コンパクトリーマン多様体が2つ以上の無限体積エンドを持ち、かつソボレフ不等式または正の第一固有値を持つならば、有限エネルギーを持つ非定数の有界調和関数が存在する。