[論文レビュー] The structure of the group of conjugating automorphisms and the linear representation of the braid groups of some manifolds

В. Г. Бардаков|ArXiv.org|Jan 22, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、自由群 $F_n$ の基底共役自己同型の群 $Cb_n$ に対して、半直積分解を確立し、それが自由群と自由アーベル群のネストされた半直積と同型であることを証明する。また、$B_4$ の Lawrence–Krammer 表現を用いて $\mathrm{Aut}(F_2)$ の忠実な線形表現を構成し、球面 $S^2$ 上のブレード群 $B_n(S^2)$、実射影平面 $\mathbb{RP}^2$ 上のブレード群 $B_3(\mathbb{RP}^2)$、および写像類群 $M(0,n)$ の線形性を証明する。これは、多様体上でのブレード群の線形性問題の主要なケースを解決する。

ABSTRACT

In this paper we describe the structure of a group of conjugating automorphisms $C_n$ of free group and prove that this structure is similar to the structure of a braid group $B_n$ with $n>1$ strings. We find the linear representation of group $C_n$. Also we prove that the braid group $B_n(S^2)$ of 2--sphere, mapping class group M(0,n) of the $n$--punctured 2--sphere and the braid group $B_3(P^2)$ of the projective plane are linear. Using result of J. Dyer, E. Formanek, E. Grossman and the faithful linear representation of Lawrence--Krammer of $B_4$ we construct faithful linear representation of the automorphism group $Aut(F_2)$.

研究の動機と目的

• 自由群 $F_n$ の基底共役自己同型の群 $Cb_n$ の代数的構造を特定すること。
• $P_n$ の既知の構造を一般化する $Cb_n$ の半直積分解を確立すること。
• 球面 $S^2$ 上のブレード群 $B_n(S^2)$、実射影平面 $\mathbb{RP}^2$ 上のブレード群 $B_3(\mathbb{RP}^2)$、および写像類群 $M(0,n)$ の線形性を証明すること。
• $B_4$ の Lawrence–Krammer 表現を用いて $\mathrm{Aut}(F_2)$ の忠実な線形表現を構成すること。
• $Cb_n$ の語的部分群の有限幅に関する未解決問題と、$\mathrm{IA}(F_n)$ の有限生成性についての考察を行うこと。

提案手法

• $Cb_n$ をネストされた半直積 $D_{n-1} \ltimes (D_{n-2} \ltimes (\cdots \ltimes D_1))$ として分解し、各 $D_i$ は $j=1,\dots,i$ に対して $2i$ 個の自己同型 $\varepsilon_{i+1,j}$ および $\varepsilon_{j,i+1}$ で生成される。
• $D_i$ がランク $i$ の自由群とランク $i$ の自由アーベル群の半直積として同型であることを特定し、純ブレード群の分解と整合的であることを示す。
• 線形表現 $\rho: B_4 \to \mathrm{GL}_6(\mathbb{C})$ を用いて $\mathrm{Aut}(F_2)$ の表現を構築するための基本的構成要素とする。
• 自由部分群上の作用を上げ、コセット代表元を用いて拡張することで、表現 $\overline{\psi}: \mathrm{Aut}(F_2) \to \mathrm{GL}_{12}(\mathbb{Z}[t^{\pm1}, q^{\pm1}])$ を構成する。
• Dyer, Formanek, および Grossman の結果を用いて、この表現が忠実であることを示す。
• $B_4^* \simeq \mathrm{Aut}^+(F_2)$ が $\mathrm{Aut}(F_2)$ の指数 2 の部分群であることに基づき、コセット上のモノドロミー的作用を用いて全群に表現を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純ブレード群 $P_n$ の構造を一般化して、基底共役自己同型の群 $Cb_n$ は、自由群とアーベル群のネストされた半直積と同型であると予想されているが、真か？
• RQ2 Lawrence–Krammer 表現 $B_4$ を用いて、$\mathrm{Aut}(F_2)$ の忠実な線形表現を構成できるか？
• RQ3 球面 $S^2$ 上のブレード群 $B_n(S^2)$ および実射影平面 $\mathbb{RP}^2$ 上のブレード群 $B_3(\mathbb{RP}^2)$ は線形か？また、写像類群 $M(0,n)$ は線形か？
• RQ4 $n \geq 2$ のとき、$Cb_n$ は有限幅の真の語的部分群をもたないのか、その代数的構造から示唆されているか？
• RQ5 $n \geq 3$ のとき、$\mathrm{IA}(F_n)$ は有限生成か、あるいは無限の生成長さをもつか？

主な発見

• $Cb_n$ は半直積分解 $Cb_n = D_{n-1} \ltimes (D_{n-2} \ltimes (\cdots \ltimes D_1))$ を持ち、各 $D_i$ は $2i$ 個の自己同型で生成され、ランク $i$ の自由群とランク $i$ の自由アーベル群の半直積として分解される。
• 2次元球面 $S^2$ 上のブレード群 $B_n(S^2)$ は線形であり、$n$ 個の穴あき球面の写像類群 $M(0,n)$ および実射影平面 $\mathbb{RP}^2$ 上のブレード群 $B_3(\mathbb{RP}^2)$ に対しても線形性が成り立つ。
• Lawrence–Krammer 表現 $B_4$ を用い、$\omega$-作用によるコセット拡張を施すことで、$\mathrm{Aut}(F_2)$ の忠実な線形表現を $\mathrm{GL}_{12}(\mathbb{Z}[t^{\pm1}, q^{\pm1}])$ に構成した。
• 生成元の像が $\mathrm{Aut}(F_2)$ の定義関係を満たし、核が自明であることを確認することで、表現 $\overline{\psi}$ が忠実であることが示された。
• $n \geq 2$ のとき、$Cb_n$ は有限幅の真の語的部分群をもたない。これは Kourovka ノートブック に示唆された予想を支持する。
• Lawrence–Krammer 表現において $B_4$ の中心はスカラー行列へ写される。$\mu = 1/\sqrt[12]{t^2 q^8}$ による正規化により、この表現は $\mathrm{Aut}^+(F_2)$ に拡張可能である。