[論文レビュー] The structure of Zhu's algebras for certain W-algebras

Dražen Adamović, Antun Milas|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、水平な $\mathbb{Z}$-順序を持つ特定の $\mathcal{W}$-代数に対して、朱の代数の構造を決定する内部的手法を開発する。この手法を三重項頂点代数 $\mathcal{W}(p)$ および $N=1$ スーパートリプレット頂点演算子超代数 $\mathcal{SW}(m)$ に適用し、$\dim A(\mathcal{W}(p)) = \dim \mathcal{P}(\mathcal{W}(p))$ および $\dim A_{\sigma}(\mathcal{SW}(m)) = \dim \mathcal{P}(\mathcal{SW}(m))$ を証明する。これにより、未解決の予想が解決され、それぞれ $6p-1$ および $12m+8$ の次元公式が確立される。

ABSTRACT

We introduce a new approach that allows us to determine the structure of Zhu's algebra for certain vertex operator (super)algebras which admit horizontal $\mathbb{Z} $-grading. By using this method and an earlier description of Zhu's algebra for the singlet W-algebra, we completely describe the structure of Zhu's algebra for the triplet vertex algebra W(p). As a consequence, we prove that Zhu's algebra A(W(p)) and the related Poisson algebra P(W(p)) have the same dimension. We also completely describe Zhu's algebras for the N=1 triplet vertex operator superalgebra SW(m). Moreover, we obtain similar results for the c=0 triplet vertex algebra W_{2,3} important in logarithmic conformal field theory. Because our approach is "internal" we had to employ several constant term identities for purposes of getting right upper bounds on dimension of Zhu's algebras.

研究の動機と目的

• 頂点（超）代数に水平な $\mathbb{Z}$-順序が存在する場合に、朱の代数 $A(V)$ を計算するための新しい内部的手法を開発すること。
• 三重項頂点代数 $\mathcal{W}(p)$ および $N=1$ スーパートリプレット代数 $\mathcal{SW}(m)$ に対して、朱の代数とポisson代数の次元の等価性に関する未解決の予想を解消すること。
• $c=0$ の三重項頂点代数 $\boldsymbol{\mathcal{W}}_{2,3}$ にこの手法を拡張し、$A(V)$ および $A_{\sigma}(V)$ の次元公式を確立すること。
• $\dim A(\mathcal{W}(p)) = \dim \mathcal{P}(\mathcal{W}(p))$ および $\dim A_{\sigma}(\mathcal{SW}(m)) = \dim \mathcal{P}(\mathcal{SW}(m))$ を証明し、先行研究からの予想を確認すること。
• $A(\mathcal{W}(p))$ の中心を、$A(\overline{M(1)})$ からの準同型を用いて完全に記述し、核を主イデアルとして特定すること。

提案手法

• 中心 $A(\mathcal{W}(p))$ を $A(\overline{M(1)}) / \ker(\Phi)$ の部分代数として、自然な準同型 $\Phi: A(\overline{M(1)}) \to A(\mathcal{W}(p))$ を用いて研究する。
• $\ker(\Phi)$ が $A(\overline{M(1)})$ 内の主イデアルであることを証明し、商代数の次元計算を可能にする。
• $\dim(A(\overline{M(1)}) / \ker(\Phi)) = 4p - 1$ を示し、これにより $\dim A(\mathcal{W}(p)) = 6p - 1$ を得る。
• $N=1$ スーパートリプレット頂点演算子超代数 $\mathcal{SW}(m)$ に対しても同様の技法を適用し、$\dim A(\mathcal{SW}(m)) = 6m + 1$ および $\dim A_{\sigma}(\mathcal{SW}(m)) = 12m + 8$ を計算する。
• 定数項恒等式およびZeilbergerのアルゴリズムを用いて、次元を制限し、等価性を確認するための重要な留数恒等式を導出し、検証する。
• $\mathcal{P}_0(V)$ から $\operatorname{gr} A(V)$ への上昇写像を用いて乖離を分析し、$\mathcal{SW}(m)$ の場合に非自明な核が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\dim A(\mathcal{W}(p)) = \dim \mathcal{P}(\mathcal{W}(p))$ はすべての $p \geq 2$ に対して成り立つか？
• RQ2 三重項代数 $\overline{M(1)}$ からの内部準同型を用いて、朱の代数 $A(\mathcal{W}(p))$ の構造を完全に記述できるか？
• RQ3 準同型 $\Phi: A(\overline{M(1)}) \to A(\mathcal{W}(p))$ の核は主イデアルか？
• RQ4 すべての $m \in \mathbb{N}$ に対して、$A_{\sigma}(\mathcal{SW}(m))$ と $\mathcal{P}(\mathcal{SW}(m))$ の次元は一致するか？
• RQ5 $A(\mathcal{SW}(m))$ および $A_{\sigma}(\mathcal{SW}(m))$ の正確な次元は何か？ また、それらは $\mathcal{P}_0(\mathcal{SW}(m))$ とどのように関係するか？

主な発見

• 三重項頂点代数 $\mathcal{W}(p)$ の朱の代数の次元は $6p - 1$ であり、すべての $p \geq 2$ に対して $\dim A(\mathcal{W}(p)) = \dim \mathcal{P}(\mathcal{W}(p))$ が成り立つ。
• 準同型 $\Phi: A(\overline{M(1)}) \to A(\mathcal{W}(p))$ の核は主イデアルであり、$\dim(A(\overline{M(1)}) / \ker(\Phi)) = 4p - 1$ である。
• $N=1$ スーパートリプレット頂点演算子超代数 $\mathcal{SW}(m)$ に対して、非-twist朱の代数の次元は $6m + 1$ である。
• $\sigma$-twist朱の代数 $A_{\sigma}(\mathcal{SW}(m))$ の次元は $12m + 8$ であり、$\dim A_{\sigma}(\mathcal{SW}(m)) = \dim \mathcal{P}(\mathcal{SW}(m))$ を満たす。
• $\mathcal{P}_0(\mathcal{SW}(m))$ から $\operatorname{gr} A(\mathcal{SW}(m))$ への自然な写像には非自明な核があるため、$\dim A(\mathcal{SW}(m)) < \dim \mathcal{P}_0(\mathcal{SW}(m))$ である。
• この手法は $c=0$ の三重項頂点代数 $\boldsymbol{\mathcal{W}}_{2,3}$ に対しても成功裏に拡張され、定数項恒等式およびZeilbergerのアルゴリズムを用いて類似の次元結果が確認された。