[論文レビュー] The su(n) WZNW fusion ring as integrable model: a new algorithm to compute fusion coefficients

Christian Korff|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2011

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、可解な頂点模型とベーテアンザッツを用いて、$\check{\mathfrak{su}}(n)_k$ WZNW融合環における融合係数を計算する新規なアルゴリズムを提示する。統計模型の転送行列を、アフィンプレアック代数における非可換多項式の母関数と同一視することにより、著者らは融合係数を可換で半単純な環の構造定数として導出し、カク＝ウォルトンの公式とは異なる代替手段を提供する。

ABSTRACT

This is a proceedings article reviewing a recent combinatorial construction of the su(n) WZNW fusion ring by C. Stroppel and the author. It contains one novel aspect: the explicit derivation of an algorithm for the computation of fusion coefficients different from the Kac-Walton formula. The discussion is presented from the point of view of a vertex model in statistical mechanics whose partition function generates the fusion coefficients. The statistical model can be shown to be integrable by linking its transfer matrix to a particular solution of the Yang-Baxter equation. This transfer matrix can be identified with the generating function of an (infinite) set of polynomials in a noncommutative alphabet: the generators of the local affine plactic algebra. The latter is a generalisation of the plactic algebra occurring in the context of the Robinson-Schensted correspondence. One can define analogues of Schur polynomials in this noncommutative alphabet which become identical to the fusion matrices when represented as endomorphisms over the state space of the integrable model. Crucial is the construction of an eigenbasis, the Bethe vectors, which are the idempotents of the fusion algebra.

研究の動機と目的

• 「$\check{\mathfrak{su}}(n)_k$ WZNW融合環における融合係数の新たな計算手法の開発。
• 「Yang-Baxter方程式を通じて、可解な統計力学模型と融合環構造との間の関係の確立。
• 「非可換対称関数を用いた、カク＝ウォルトンの公式とは異なる融合係数の計算手法の提供。
• 「ベーテアンザッツ方程式のノンステルゼンツ理想による多項式環の商として、融合環が生じることの証明。
• 「転送行列の固有基底（ベーテベクトル）が、融合代数のイデムポテン元に対応することの示唆。

提案手法

• 「融合係数を生成する分割関数を持つ統計力学における頂点模型の構築。
• 「転送行列をYang-Baxter方程式の解と結びつけることで、可解性の証明。
• 「アフィンプレアック代数を用いて、転送行列を非可換アルファベットにおける多項式の母関数として表現。
• 「この非可換設定におけるシュール多項式の類似物を定義し、状態空間上の自己準同型として表現した際に融合行列となることの示唆。
• 「代数的ベーテアンザッツを適用して転送行列を対角化し、固有基底（ベーテベクトル）を構成。この基底はイデムポテン元として機能する。
• 「融合環を、基本対称関数の多項式環をベーテアンザッツ方程式の多様体のノンステルゼンツ理想で割った商環として特定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 「$\check{\mathfrak{su}}(n)_k$融合環における融合係数は、カク＝ウォルトンの公式に依存せずに、可解模型を用いて計算可能か。
• RQ2 「アフィンプレアック代数の構造は、WZNWモデルの融合則とどのように関係しているか。
• RQ3 「転送行列のベーテアンザッツ固有基底は、融合代数のイデムポテン基底として解釈可能か。
• RQ4 「対称関数とノンステルゼンツ理想の観点から、融合係数の代数的起源は何か。
• RQ5 「この手法は、他の量子群や可解模型へどの程度一般化可能か。

主な発見

• 「融合係数は、可解頂点模型の転送行列によって生成される可換で半単純な環の構造定数として導出された。
• 「転送行列は、非可換アフィンプレアック代数における多項式の母関数として示され、ロビンソン＝シェンステッド対応のプレアック代数の一般化である。
• 「非可換アルファベットにおけるアフィンプレアックシュール多項式は、状態空間上の自己準同型として表現された際に、融合行列となる。
• 「ベーテアンザッツ方程式の解であるベーテベクトルは、転送行列の固有基底をなし、融合代数のイデムポテン元として特定された。
• 「融合環は、商環$\mathbb{C}[e_1,\dots,e_k]/\mathcal{I}(\mathbb{V})$と同型であり、ここで$\mathcal{I}(\mathbb{V})$はベーテアンザッツ多様体のノンステルゼンツ理想である。
• 「本手法により、カク＝ウォルトンの公式とは異なる、明示的なベーテアンザッツ方程式の解がなくても成立する新たな融合係数計算アルゴリズムが得られた。