[論文レビュー] The succinctness of first-order logic over modal logic via a formula size game.

Lauri Hella, Miikka Vilander|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Kripkeモデルにおける双対同値性を、モーダル演算子と二項結合子によって定義される指定された式の複雑さまで特徴付ける、モーダル論理のための新規な式サイズゲームを導入する。従来のゲームとは異なり、第二プレイヤーに対する自明な戦略の存在を回避することで、一階論理（FO）と基本的モーダル論理（ML）の間の非要素的要約性のギャップを明確に証明可能である。

ABSTRACT

We propose a new version of formula size game for modal logic. The game characterizes the equivalence of pointed Kripke-models up to formulas of given numbers of modal operators and binary connectives. Our game is similar to the well-known Adler-Immerman game. However, due to a crucial difference in the definition of positions of the game, its winning condition is simpler, and the second player (duplicator) does not have a trivial optimal strategy. Thus, unlike the Adler-Immerman game, our game is a genuine two-person game. We illustrate the use of the game by proving a nonelementary succinctness gap between bisimulation invariant first-order logic FO and (basic) modal logic ML.

研究の動機と目的

• 一階論理とモーダル論理の表現力の比較のための新しいゲーム理論的枠組みの開発。
• アドラー＝イマークマン・ゲームのような既存のゲームの限界、特に第二プレイヤーに対する自明な最適戦略の存在を解決すること。
• モーダル論理における式サイズ同値性の厳密かつゲームベースの特徴付けの提供。
• 提案されたゲームを用いて、一階論理と基本的モーダル論理の間の顕著な要約性のギャップを示すこと。

提案手法

• アドラー＝イマークマン・ゲームとは異なり、位置の定義を別様にした新規な二人対戦式サイズゲームを提案し、勝利条件を単純化する。
• ゲームを用いて、指定された数のモーダル演算子と二項結合子までに限定された点付きKripkeモデルの同値性を特徴付ける。
• 第二プレイヤー（複製者）が自明な戦略に依存できないように勝利条件を定義することで、真の戦略的相互作用を保証する。
• 特定の第一階論理式が、同等のモーダル論理式と比較して指数関数的に多くのモーダル演算子を必要とすることを証明するためにゲームを応用する。
• ゲーム理論的推論を用いて、FOとMLの間の非要素的要約性ギャップを確立する。
• ゲームの結果と論理的同値性の間の対応関係を確立し、表現力の差を証明可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複製者が自明な戦略に依存しないように設計されたゲーム理論的枠組みを、モーダル論理における式サイズ同値性を特徴付けるために構築可能か？
• RQ2 一階論理と基本的モーダル論理の間の式の要約性という観点での表現力の差は何か？
• RQ3 その勝利条件が従来の手法よりも単純かつ直感的であるように、式サイズゲームをどのように設計できるか？
• RQ4 提案されたゲームが、論理的形式主義間の要約性ギャップの証明にどの程度有効か？
• RQ5 このゲームを用いて、FOとMLの間の非要素的要約性ギャップを形式的に確立できるか？

主な発見

• 提案されたゲームは、指定された式の複雑さまでに限定して、Kripkeモデルにおける双対同値性を明確に特徴付ける。
• ゲームの構造により、複製者の自明な最適戦略の存在が排除され、真の二人対戦ゲームとなる。
• ゲームを用いて、一階論理と基本的モーダル論理の間の非要素的要約性ギャップを証明可能である。
• ある第一階論理式が、同等のモーダル論理式と比較して、任意の指数の塔よりも速く増加する数のモーダル演算子を必要とすることが示された。
• アドラー＝イマークマン・ゲームよりも、ゲームの勝利条件が単純であるため、証明構築の明確さと使いやすさが向上した。
• このフレームワークは、ゲーム理論的手法を用いて、FOとMLの表現力の差を的確に特定できた。