[論文レビュー] The sum of digits function of the base phi expansion of the natural numbers

Michel Dekking|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、自然数の基数φ展開における各桁の和を2で割った余りが、Thue-Morse列に類似したモーフィック列であることを証明している。この列は8文字のアルファベット上の自己写像の不動点によって生成され、0と1の出現頻度がともに正確に1/2であることが示され、決定論的構成にもかかわらず擬似ランダムな構造を示している。

ABSTRACT

In the base phi expansion any natural number is written uniquely as a sum of powers of the golden mean with digits 0 and 1, where one requires that the product of two consecutive digits is always 0. In this paper we show that the sum of digits function modulo 2 of these expansions is a morphic sequence. In particular we prove that --- like for the Thue-Morse sequence --- the frequency of 0's and 1's in this sequence is equal to 1/2.

研究の動機と目的

• 自然数の基数φ展開における各桁の和の関数を2で割った余りの動的および構造的性質を調査すること。
• この列が均等な桁の頻度といった擬似ランダム特性を示すかどうかを特定すること。
• 文字列から2文字の部分列を抽出する写像を用いて、その固定点が和の関数列に写像される自己写像を構成することで、列にモーフィック構造があることを確立すること。
• 列に含まれる長さ2の部分列の自然密度を計算し、その統計的均一性を評価すること。

提案手法

• 黄金比 φ = (1+√5)/2 を用いて、自然数の基数φ展開を定義し、0と1の数字を用い、連続する1を含まないものとする。
• 和の関数 sβ(N) を定義し、その2で割った余りを xβ(N) = sβ(N) mod 2 とする。
• ルカス数 Lk を用いて自然数をルカス区間 Λn = [L2n, L2n+1] および Λ2n+1 = [L2n+1+1, L2n+2−1] に分割する。
• ルカス数の展開の性質と逆文字を含む語代数の性質に基づいて、各区間における β(N) の再帰的関係を導出する。
• 8文字のアルファベット A = {1,…,8} 上の自己写像 τ を定義し、列の構造を再帰的に生成する。この自己写像は鏡対称性 τμ = μτ を持つ。
• 文字から文字への写像 λ: A → {0,1} を適用し、τ の固定点を列 xβ に写像することにより、xβ = λ(t) を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基数φ展開における各桁の和を2で割った余りはモーフィック列か？
• RQ2 この列における0と1の自然密度はそれぞれいくらか？
• RQ3 長さ2の部分列（00, 01, 10, 11）は、擬似ランダム性を示す頻度で出現するか？
• RQ4 この列は、自己写像の固定点と写像による符号化によって生成可能か？
• RQ5 自己写像 τ の鏡対称性は、0と1の頻度がバランスしていることを示唆するか？

主な発見

• 列 xβ(N) = sβ(N) mod 2 は、8文字のアルファベット上の自己写像 τ の固定点の文字列から写像されたものであり、モーフィック列である。
• 列 xβ における0と1の頻度はともに正確に 1/2 であり、均等分布が確認された。
• 列 xβ における部分列 00 と 11 の頻度は 1/10√5 ≈ 0.2236 であり、01 と 10 の頻度はそれぞれ 1/2 − 1/10√5 ≈ 0.2764 である。
• 自己写像 τ は鏡対称性（τμ = μτ）をもち、符号化 λ は λμ = λ̄ を満たすため、0と1の頻度がバランスしている。
• 列 xβ は、ルカス区間上で再帰的関係によって完全に決定され、xβ(Λ2n) = xβ([0, L2n−1]) および xβ(Λ2n+1) = x̄β(Λ2n−1)xβ(Λ2n−2)x̄β(Λ2n−1) が成り立つ。
• 2ブロック置換 τ[2] の接続行列の正規化固有ベクトルにより、τ の固定点におけるすべての長さ2の部分列の正確な頻度が得られる。