[論文レビュー] The Sum of Two Unbounded Linear Operators: Closedness, Self-adjointness and Normality

Mohammed Hichem Mortad|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2つの有界でない正規作用素の和と積が閉作用素、自己随伴作用素、または正規作用素のままであるような新しい条件を確立し、Fugledeの定理の未定義作用素版を導入する。主な貢献は、2つの有界でない可逆正規作用素が可換であり、特定の定義域の包含関係を満たすとき、その和が正規であり、積に対しても同様に正規であることを証明することであり、古典的結果を有界でない設定に拡張し、より一般化された形で成立させる。

ABSTRACT

In the present paper we give results on the closedness and the self-adjointness of the sum of two unbounded operators. We present a new approach to these fundamental questions in operator theory. We also prove a new version of the Fuglede theorem where the operators involved are all unbounded. This new Fuglede theorem allows us to prove (under extra conditions) that the sum of two unbounded normal operators remains normal. Also a result on the normality of the unbounded product of two normal operators is obtained as a consequence of this new "Fuglede theorem". Some interesting examples are also given.

研究の動機と目的

• 文献において完全に解決されていない、2つの有界でない正規作用素の和が正規である条件を特定すること。
• 古典的Fugledeの定理を有界でない作用素に拡張し、作用素の和および積の正規性に関する新たな結果を得ること。
• 有界でない正規作用素の積の正規性に関する先行研究における余分な定義域条件を除去すること。
• 有界でない作用素の和および積の閉作用素性、自己随伴性、正規性を体系的に分析するフレームワークを提供すること。
• 有界でない作用素理論において、全域で有界な逆作用素を持つという仮定の重要性を示し、反例を用いてこの条件がないと失敗することを示すこと。

提案手法

• 有界でない正規作用素のためのFugledeの定理の新バージョンを導入し、$AB = BA$ かつ $A$, $B$ が可逆で正規であるとき、$AB^* = B^*A$ および $BA^* = A^*B$ が成り立つことを証明する。
• 条件 $A$ が可逆、$B$ が閉作用素、$D(BA^{-1}) \subset D(A)$ のもとで $A + B$ の閉作用素性を示し、$I + BA^{-1}$ の閉作用素性と積 $A(I + BA^{-1})$ の閉作用素性を用いる。
• 補題3を適用する。この補題は、$A$ が有界な逆作用素を持つならば $(BA)^* = A^*B^*$ が成り立つと述べており、随伴の計算に不可欠である。
• 定義域の包含関係 $D(A) \subset D(BA^*)$ および $D(AB^{-1}) = D(A(B^*)^{-1}) \subset D(B)$ を用いて、随伴および積の演算の正当性を保証する。
• $A$ が閉作用素で $B$ が有界作用素のとき $A + B$ が閉作用素であるという事実を、可逆性と定義域の制御により有界でない設定に拡張する。
• Devinatz-Nussbaumの定理を適用し、可換で正規な作用素が積も正規であるならば、それらは強く可換でなければならないことを示し、結果をより深いスペクトル理論と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの有界でない正規作用素の和が正規であるのはどのような条件下か？
• RQ2 古典的Fugledeの定理を有界でない正規作用素に拡張できるか。そのために必要な条件は何か？
• RQ3 2つの有界でない正規作用素が可換ならば、その積は正規のままであるか。また、定義域の仮定を弱めることができるか？
• RQ4 全域で有界な逆作用素を持つという仮定が、作用素の和および積の正規性および閉作用素性にどのように影響するか？
• RQ5 $D(BA^{-1}) \subset D(A)$ のような定義域の包含関係が、$A + B$ の閉作用素性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 2つの有界でない可逆正規作用素 $A$ と $B$ について、$AB = BA$、$D(A) \subset D(BA^*)$、$D(AB^{-1}) = D(A(B^*)^{-1}) \subset D(B)$ を満たすとき、和 $A + B$ は正規であり、定理2により閉作用素である。
• 新規のFuglede型定理を証明した：$A$ と $B$ が有界でない可逆正規作用素で $AB = BA$ ならば、$AB^* = B^*A$ および $BA^* = A^*B$ が成り立つ。これは和の正規性を証明するために不可欠である。
• 2つの有界でない可逆正規作用素の積 $AB$ は、$AB = BA$ ならば正規である。$D(A), D(B) \subset D(BA)$ を仮定する必要はなく、[22]の先行結果を改善している。
• 積の正規性は、$(AB)^*AB = (AB)(AB)^*$ の連鎖により確立され、補題3からの $(AB)^* = B^*A^*$ の恒等式と、新規のFuglede定理における可換性を用いる。
• 可逆性がなければ、$A$ と $B$ が正規で可換であっても、積 $AB$ が閉作用素でない、あるいは正規でないことがある反例を提示した。
• 本稿では、全域で有界な逆作用素を持つという仮定が本質的であることを示した。逆に、この仮定がないと、$(BA)^* = A^*B^*$ が成り立たない場合があり、片側移動作用素の反例によって示された。