[論文レビュー] The sums of Rogers, Schur and Ramanujan and the Bose-Fermi correspondence in $1+1$-dimensional quantum field theory

Rinat Kedem, Barry M. McCoy+1 more|ArXiv.org|Apr 14, 1993

Graph theory and applications参考文献 6被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、1+1次元量子場理論におけるボーズ・フェルミ対応と、ロジャース＝ラマヌジャン型フェルミオン的和表現の間の深い関係を確立する。フェルミオン的キャラクター和—ロジャース、シュール、ラマヌジャンの恒等式の一般化—が、質量ゼロの conformal field theory のスペクトルを記述することを示し、アフィンリー代数表現および分岐関数との明確な関係を示すことで、統一的な構造が統計力学と1+1次元の量子場理論の背後に存在することを明らかにする。

ABSTRACT

We discuss the relation of the two types of sums in the Rogers-Schur-Ramanujan identities with the Bose-Fermi correspondence of massless quantum field theory in $1+1$ dimensions. One type, which generalizes to sums which appear in the Weyl-Kac character formula for representations of affine Lie algebras and in expressions for their branching functions, is related to bosonic descriptions of the spectrum of the field theory (associated with the Feigin-Fuchs construction in conformal field theory). Fermionic descriptions of the same spectrum are obtained via generalizations of the other type of sums. We here summarize recent results for such fermionic sum representations of characters and branching functions. (To appear in C.N. Yang's 70th birthday Festschrift.)

研究の動機と目的

• ボーズ・フェルミ対応を用いて、 conformal field theory キャラクターのフェルミオン的和表現に物理的解釈を与えること。
• 数学的構造（ロジャース＝シュール＝ラマヌジャン恒等式、モジュラー形式、アフィンリー代数表現）と1+1次元の物理的量子場理論を結びつけること。
• フェルミオン的和表現が、可解モデルおよび conformal field theory において自然に現れることを示すこと。
• これらのフェルミオン的和が、排他則を伴う準粒子励起に対応することを示し、スピンオンやエニオンに類似した性質を持つこと。
• 数学的結果（モジュラー不変性、キャラクター公式）と物理的モデル（イジング模型、質量項付き拡張、RSOS模型）を統合すること。

提案手法

• アフィンリー代数表現のキャラクターに対して、フェルミオン的和表現の形でロジャース＝ラマヌジャン恒等式を用いる。
• 1+1次元量子場理論におけるボーズ・フェルミ対応を用い、フェイジン＝フックス構成によるボソン的キャラクター公式をフェルミオン的和形式に写像する。
• アフィンリー代数の文脈において、ウェイル＝カスのキャラクター公式およびその分岐関数への一般化を用いる。
• モジュラー変換性（モジュラー S 行列）を用いて、τ → −1/τ の下でのキャラクターの変換則を導出する。
• 零磁場および非零磁場におけるイジング模型のスペクトルを、単一および多準粒子フェルミオン的表現の実現として分析する。
• コーナー転送行列法を用いて、フェルミオン的和と非臨界 RSOS 型模型における順序パラメータを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン的和表現による conformal field theory キャラクターは、1+1次元量子場理論におけるボーズ・フェルミ対応とどのように関係するか？
• RQ2 フェルミオン的キャラクター和として解釈されたロジャース＝シュール＝ラマヌジャン型恒等式の物理的意味は何か？
• RQ3 フェルミオン的準粒子表現における運動量の排他則は、スピンオンやエニオンなどの物理的励起とどのように対応するか？
• RQ4 フェルミオン的和から導かれるキャラクターのモジュラー性質は、その背後にあるアフィンリー代数構造をどのように反映するか？
• RQ5 同じ数学的構造（フェルミオン的和、モジュラー不変性）が、臨界的および非臨界的統計模型（イジング模型、RSOS模型）の両方で見られるか？

主な発見

• 1+1次元 conformal field theory におけるアフィンリー代数表現のキャラクターについて、フェルミオン的和表現が導出され、ロジャース＝ラマヌジャン恒等式が一般化された。
• q級数および積で定義されるキャラクター c₀(τ) と c₁(τ) は、モジュラー群 SL(2,Z) の下で2次元のモジュラー表現をなすことが示され、明示的な S 行列変換が得られた。
• フェルミオン的和形式は、排他則を伴う準粒子励起に対応し、単一フェルミオン表現はカフマンのイジング模型の自由フェルミオン解の conformal 限界と一致する。
• 8フェルミオン表現は、磁場中における臨界温度でのザモロドチコフのイジング模型の取り扱いと関連し、多準粒子構造の物理的意義を示している。
• フェルミオン的キャラクター公式は、臨界 conformal field theory に限らず、コーナー転送行列法を用いることで非臨界 RSOS 型模型にも現れ、広範な適用可能性を示している。
• ロジャース＝ラマヌジャン恒等式およびその一般化の数学的構造が、可解量子場理論および統計模型において物理的に実現可能であることが示され、物理学と数学の背後に深い統一性が存在することを示唆している。