[論文レビュー] The superconformal index of $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ and $SO(N_c)$ SYM as a matrix integral

Antonio Amariti, Marco Fazzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、4次元 $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ および $SO(N_c)$ SYM 理論の超共形指数（SCI）を行列模型的手法を用いて計算し、カーディ型極限において指数が3次元純粋ゲージ理論の $S^3$ 分配関数に等価な行列積分に還元されることを示している。主な鞍点解が、ゲージ群の中心対称性に関連する予想される $-\log 2$ および $\log 4$ の対数補正をもたらし、一般化されたウェイル特徴関数の公式を用いた正確な評価により確認されている。

ABSTRACT

We study the superconformal index of 4d $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ and $SO(N_c)$ SYM from a matrix model perspective. We focus on the Cardy-like limit of the index. Both in the symplectic and orthogonal case the index is dominated by a saddle point solution which we identify, reducing the calculation to a matrix integral of a pure Chern-Simons theory on the three-sphere. We further compute the subleading logarithmic corrections, which are of the order of the center of the gauge group. In the $USp(2N_c)$ case we also study other subleading saddles of the matrix integral. Finally we discuss the case of the Leigh-Strassler fixed point with $SU(N_c)$ gauge group, and we compute the entropy of the dual black hole from the Legendre transform of the entropy function.

研究の動機と目的

• 4次元 $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ および $SO(N_c)$ SYM 理論の超共形指数（SCI）を行列模型的手法を用いて計算すること。
• SCI のカーディ型極限を分析し、支配的となる鞍点配置を同定すること。
• SCI に対する次なる項の対数補正を計算し、それらがゲージ群の中心対称性とどのように関連するかを特定すること。
• 一般化されたウェイル特徴関数の公式を用いて、$SO(N_c)$ および $USp(2N_c)$ に対して行列積分の結果を正確に評価すること。
• 行列模型の結果を、ベーテのアンザッツ方程式のアプローチと比較し、$N_c$ が大きい極限において一貫性があることを確認すること。

提案手法

• SCI は、$S^3 \times S^1$ 上での局在化から得られるゲージ群のカルタントーラス上の行列積分として表現される。
• カーディ型極限において、行列積分は、$S^3$ 上の3次元純粋チェーン＝シモンズ理論の分配関数に一致する鞍点配置によって支配される。
• 同定されたチェーン＝シモンズ理論は、ゲージ群が $USp(2N_c)_{\pm(N_c+1)}$、$SO(2N_c+1)_{\pm(2N_c-1)}$、$SO(2N_c)_{\pm 2(N_c-1)}$ であり、化学ポテンシャルの制約からレベルが決定される。
• 一般化されたウェイル特徴関数の公式を用いて、$SO(2N_c+1)$ および $SO(2N_c)$ に対して $S^3$ 分配関数を正確に計算し、$SO$ と $O$ ゲージ群を区別する $\mathbb{Z}_2$ 要素を含む。
• SCI の対数の $N_c$ が大きい極限における主要項と次なる項から、対数補正を抽出する。
• 結果は、ベーテのアンザッツ方程式のアプローチからの既知の結果と比較され、中心対称性および1次元対称性の破れの予想とも一致することが確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ SYM 理論の超共形指数は、カーディ型極限においてどのように簡約されるか？
• RQ2 $SO(N_c)$ および $USp(2N_c)$ ゲージ群に対して、支配的鞍点領域におけるSCIを記述する行列積分の正確な形は何か？
• RQ3 SCI の次なる項の対数補正の起源と大きさは何か？ そしてそれはゲージ群の中心対称性とどのように関連するか？
• RQ4 3次元チェーン＝シモンズ理論の $S^3$ 分配関数は、4次元SCIの行列積分形とどのように一致するか？
• RQ5 双対ランクがゼロに近づく極限において、なぜ $SO(2N_c)$ の分配関数には $O(2N_c)$ よりも余分な因子 2 が含まれるのか？

主な発見

• 4次元 $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ および $SO(N_c)$ SYM 理論の超共形指数は、カーディ型極限において3次元純粋チェーン＝シモンズ理論の $S^3$ 分配関数に還元される。
• 行列積分における支配的鞍点は、$USp(2N_c)$ に対して $k = \pm(N_c+1)$、$SO(2N_c+1)$ に対して $k = \pm(2N_c-1)$、$SO(2N_c)$ に対して $k = \pm 2(N_c-1)$ のチェーン＝シモンズ理論に対応する。
• SCI の対数補正は、$USp(2N_c)$ に対して $\log 2$、$SO(2N_c)$ に対して $\log 4$ であることが判明し、中心対称性の位数と整合的である。
• 正確な評価により、$SO(2N_c+1)_{k}$ および $SO(2N_c)_{k}$ の分配関数はそれぞれ $Z^{SO(2N_c+1)_{-\eta(2N_c-1)}}_{S^3} = 2\,e^{\frac{5i\pi\eta N_c}{12}(2N_c+1)+i\pi N_c^2}$ および $Z^{SO(2N_c)_{-2\eta(N_c-1)}}_{S^3} = 2\,e^{\frac{5i\pi\eta N_c}{12}(2N_c-1)+i\pi(N_c^2-N_c)}$ に一致する。
• 以前に欠落していた、$SO(2N_c)$ 分配関数における $\mathbb{Z}_2$ 対称性の未ゲージ化に起因する因子 2 が、一般化されたウェイル特徴関数の公式の直接評価により修正された。