[論文レビュー] The supersingular locus in Siegel modular varieties with Iwahori level structure

Ulrich Goertz, Chia‐Fu Yu|ArXiv.org|Jul 8, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、イワホリレベル構造をもつシーゲルモジュラー多様体における特異的特異点集合の次元と幾何的構造を、コットヴィッツ＝ラポポート層とエーケルダール＝オールポート層の相互作用を用いて調査する。偶数 $g$ の場合、特異的特異点集合の次元は $g^2/2$ であり、その最高次元成分は $
mathrm{Sp}_{g} \times \mathrm{Sp}_{g}$ のフラッグ多様体に同型である。奇数 $g$ の場合、成分は $
mathrm{SL}_g$ のフラッグ多様体に同型であり、明確な次元の上限が与えられる。

ABSTRACT

We study moduli spaces of abelian varieties in positive characteristic, more specifically the moduli space of principally polarized abelian varieties on the one hand, and the analogous space with Iwahori type level structure, on the other hand. We investigate the Ekedahl-Oort stratification on the former, the Kottwitz-Rapoport stratification on the latter, and their relationship. In this way, we obtain structural results about the supersingular locus in the case of Iwahori level structure, for instance a formula for its dimension in case $g$ is even.

研究の動機と目的

• イワホリレベル構造をもつシーゲルモジュラー多様体における特異的特異点集合の次元と幾何的構造を特定すること。
• この文脈において、コットヴィッツ＝ラポポート（KR）層とエーケルダール＝オールポート（EO）層の関係を明確にすること。
• すべての特異的特異点KR層が特異的特異的であることを証明し、これらの層の幾何的特徴づけを提供すること。
• $p$-ランク 0 の集合の正確な次元公式を確立し、それを特異的特異点集合の上限として用いること。
• $g \geq 2$ の場合、特異的特異点集合が等次元でないことを示し、最高次元の既約成分を記述すること。

提案手法

• イワホリレベル構造をもつアーベル多様体のモジュライ空間 $\mathcal{A}_I$ におけるコットヴィッツ＝ラポポート（KR）層の分析。
• Ngô と Genestier の結果を用い、$p$-ランクがKR層上で一定であることを組み合わせ、各層の $p$-ランクの組合せ論的公式を適用。
• 最高次元の $p$-ランク 0 層の次元を、$p$-ランク 0 の集合の次元に関連づけ、特異的特異点集合の上界を提供。
• すべての特異的特異点KR層が特異的特異的であることを証明する。具体的には、特異的特異的アーベル多様体間のフロベニウス準同型写像に同型である幾何的条件を満たすことを示す。
• 写像 $\mathbf{i}$ を用いてKR層とエーケルダール＝オールポート層を比較し、基本層の閉包をフラッグ多様体の閉部分スキームとして特定。
• 同型 $\overline{\mathcal{A}}_{t^\mu} \cong \overline{\mathcal{U}}_{w_\emptyset}$ と層の整合性を用いて、KR層とEO層を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イワホリレベル構造をもつアーベル多様体のモジュライ空間 $\mathcal{A}_I$ における特異的特異点集合 $\mathcal{S}_I$ の次元は何か？
• RQ2 $\mathcal{A}_I$ における特異的特異点集合の既約成分は、特に偶数 $g$ と奇数 $g$ の場合、どのように幾何的に構造づけられるか？
• RQ3 すべての特異的特異点KR層は必然的に特異的特異的であるか？また、それらは明示的に記述可能か？
• RQ4 $\mathcal{A}_I$ における $p$-ランク 0 の集合の次元は何か？ そして、それは特異的特異点集合をどのように制約するか？
• RQ5 KR層とEO層は $\mathcal{A}_I$ 上でどのように相互作用するか？ そして、特異的特異点集合の幾何にどのような意味をもつのか？

主な発見

• 偶数 $g$ の場合、特異的特異点集合 $\mathcal{S}_I$ の次元は正確に $g^2/2$ である。
• 奇数 $g$ の場合、$\mathcal{S}_I$ の次元は $g(g-1)/2$ から $(g+1)(g-1)/2$ の間にある。
• $g$ が偶数のとき、$\mathcal{S}_I$ の最高次元既約成分はすべて、$k$ 上の $\mathrm{Sp}_{g} \times \mathrm{Sp}_{g}$ のフラッグ多様体に同型である。
• $g$ が奇数のとき、$\mathcal{S}_I$ は $\mathrm{SL}_g$ のフラッグ多様体に同型な既約成分を持ち、それぞれの次元は $g(g-1)/2$ である。
• すべての特異的特異点KR層は特異的特異的であることが証明され、[18] のプレプリント版における予想が裏付けられた。
• $\mathcal{A}_I$ における $p$-ランク 0 の集合の次元は $[g^2/2]$ であり、これは $\dim \mathcal{S}_I$ の上界をなす。