[論文レビュー] The support of singular stochastic PDEs

Martin Hairer, Philipp Schönbauer|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特異なノイズによって駆動される亜臨界な特異な確率的偏微分方程式（SPDE）に対して、一般化されたサポート定理を確立する。再生産の問題を解消するため、解のサポートが特定の元 g◦H のコセットにのみ依存するように、再生産群の部分群 H を同定する。主な結果は、g◦H に属する要素によって再生産された方程式において、ノイズを滑らかな関数に置き換えた解の閉包がサポートを構成することを示している。この結果は、Φ⁴₃測度の全サポートおよびそのラングジュアン動力学の指数的混合性への応用を持つ。

ABSTRACT

We obtain a generalisation of the Stroock-Varadhan support theorem for a large class of systems of subcritical singular stochastic PDEs driven by a noise that is either white or approximately self-similar. The main problem that we face is the presence of renormalisation. In particular, it may happen in general that different renormalisation procedures yield solutions with different supports. One of the main steps in our construction is the identification of a subgroup $\mathcal{H}$ of the renormalisation group such that any renormalisation procedure determines a unique coset $g\circ\mathcal{H}$. The support of the solution then only depends on this coset and is obtained by taking the closure of all solutions obtained by replacing the driving noises by smooth functions in the equation that is renormalised by some element of $g\circ\mathcal{H}$. One immediate corollary of our results is that the $Φ^4_3$ measure in finite volume has full support and that the associated Langevin dynamic is exponentially ergodic.

研究の動機と目的

• 特異または近似的に自己相似的なノイズを伴う、亜臨界な特異な確率的偏微分方程式の広いクラスに、ストローカ・バラダランのサポート定理を拡張すること。
• 異なる再生産手順が解のサポートに異なる影響を及えるという根本的な問題を解決すること。
• 解のサポートが g◦H のコセットにのみ依存するように、再生産群の標準的部分群 H を同定すること。
• 解のサポートを、再生産された方程式においてノイズを滑らかな関数に置き換えた解の閉包として特徴付けること。
• 有限体積における Φ⁴₃測度および関連するラングジュアン動力学に対して、全サポートおよび指数的混合性を確立すること。

提案手法

• 特異性を扱うために、正則性構造の枠組みを導入する。
• 再生産群の作用を定義し、コセット g◦H が解のサポートを決定することを示す正規部分群 H を同定する。
• 木のホップ代数におけるイデアル J を分析することで、確率的モデルのサポート定理を構築する。
• 再帰的ウィENERホーチャス展開を用いて、極限においてサポートを実現するシフトを構成する。
• 滑らかなノイズを伴う再生産された方程式を固定点議論により解き、真の解への収束を保証する。
• コセット g◦H 内の代表元の選択に依存しないサポートの不変性を示し、再生産における曖昧さを解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再生産によって解のサポートに曖昧さが生じる特異なSPDEに対して、ストローカ・バラダランのサポート定理をどのように一般化できるか？
• RQ2 特異なSPDEの解のサポートを決定する再生産群の部分群は何か？
• RQ3 再生産された方程式においてノイズを滑らかな関数に置き換えた解の閉包として、解のサポートを特徴付けることができるか？
• RQ4 有限体積における Φ⁴₃測度は全サポートを持つのか？ また、その関連するラングジュアン動力学は指数的混合性を示すのか？
• RQ5 再生産定数の間の制約は、解空間およびそのサポートの構造にどのように影響するか？

主な発見

• 特異なSPDEの解のサポートは、特定の再生産手順に依存せず、再生産群のコセット g◦H のみに依存する。
• サポートは、g◦H に属する要素によって再生産された方程式においてノイズを滑らかな関数に置き換えたすべての解の閉包として特徴付けられる。
• 有限体積における Φ⁴₃測度は、連続関数の位相において全サポートを持つ。
• Φ⁴₃モデルの関連するラングジュアン動力学は指数的混合性を示す。これは、全サポートの結果の直接的帰結である。
• 木のホップ代数におけるイデアル J がホップイデアルであることが示され、再生産制約の代数的構造の基盤をなしている。
• ウィーナー・ホーチャスによるシフトの構成と固定点議論により、近似の弱収束に対してサポートが安定することが保証される。