[論文レビュー] The Surprise Examination Paradox and the Second Incompleteness Theorem

Shira Kritchman, Ran Raz|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 10被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、コルモゴロフ次元とチャイチンの不完全性定理を用いて、驚きの試験パラドックスの変種を通じて、ゲーデルの第二不完全性定理の新しい証明を提示する。この議論は、体系内で一貫性を証明しようという暗黙の仮定に起因するパラドックスを明らかにし、それによって、形式的体系における基礎的限界と結びつけてパラドックスを解消する。

ABSTRACT

We give a new proof for Godel's second incompleteness theorem, based on Kolmogorov complexity, Chaitin's incompleteness theorem, and an argument that resembles the surprise examination paradox. We then go the other way around and suggest that the second incompleteness theorem gives a possible resolution of the surprise examination paradox. Roughly speaking, we argue that the flaw in the derivation of the paradox is that it contains a hidden assumption that one can prove the consistency of the mathematical theory in which the derivation is done; which is impossible by the second incompleteness theorem.

研究の動機と目的

• コルモゴロフ次元とチャイチンの不完全性定理を用いて、ゲーデルの第二不完全性定理の新しい、概念的に単純な証明を提供すること。
• 数学的論理における形式的一貫性と自己言及の観点から、驚きの試験パラドックスを分析すること。
• パラドックスが、体系内で一貫性を証明できるという不適切な仮定に起因することを示すこと。これはゲーデルの第二定理によって禁じられている。
• ゲーデル番号化と対角線法を用いて、教師の発表を形式化し、自己言及と証明可能性が不整合な推論においてどのように作用するかを示すこと。
• 体系内での一貫性の証明が不可能であることに起因するため、学生の推論が失敗する点に着目して、驚きの試験パラドックスを解消すること。

提案手法

• チャイチンの不完全性定理を用いる。これは、任意の矛盾のない形式的理論に対して、ある境界 L が存在し、任意の x に対して K(x) > L という命題は証明できない、という定理である。
• コルモゴロフ次元を用いて、体系が特定の閾値を超える数の複雑さを証明できないことの形式的意味を明確にし、それが証明すると主張する場合に矛盾を引き起こすことを示す。
• 驚きの試験パラドックスを、m ≥ i → m = i という含意の証明可能性を含む形式的文 S としてモデル化する。これは、自己言及的構造を持つ形式的体系 T を用いる。
• S をゲーデル番号化と対角線法を用いて形式化し、S を Q(q) として定義する。ここで q は、パラドックスの論理的構造を符号化する式 Q(x) のゲーデル番号である。
• PrT,S(φ) を、体系 T に S を追加した体系 T + S 内での命題 φ の形式的証明可能性を表す証明可能性述語として導入し、一貫性を仮定した場合の含意を分析する。
• 任意の日 i に対して m ≠ i を導出するには、T + S の一貫性 Con(T,S) を仮定する必要があるが、これは第二不完全性定理により T + S 内で証明できない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲーデルの第二不完全性定理は、コルモゴロフ次元とチャイチンの不完全性定理を用いて再証明可能か？
• RQ2 驚きの試験パラドックスにおける学生の推論の論理的欠陥は何か？そしてそれは形式的一貫性とどのように関係するか？
• RQ3 証明可能性述語と自己言及を用いた教師の発表の形式化は、導出可能性の限界をどのように露呈するか？
• RQ4 驚きの試験パラドックスは、第二不完全性定理に言及することで解消可能か？
• RQ5 一貫性の仮定は、学生の帰納的推論において果たす役割は何か？なぜそれが体系内で証明できないのか？

主な発見

• この論文は、自己言及の問題を避けるために、コルモゴロフ次元とチャイチンの不完全性定理に基づいたゲーデルの第二不完全性定理の新しい証明を提供する。
• 驚きの試験パラドックスは、体系 T + S の一貫性を証明できるという証明できない仮定に依存しているため、これは第二不完全性定理によって禁じられている。この仮定の非証明可能性により、パラドックスが解消される。
• 対角線法とゲーデル番号化を用いて、教師の発表を自己言及的文 S として形式化することで、体系が m ≠ 5 を導出できるのは、Con(T + S) を仮定した場合に限ることが明らかになる。これは体系内で証明できない。
• 金曜日については、学生が T + S の一貫性を証明できないため、試験が金曜日に行えないという結論に至れない。たとえ体系が一貫しているならば試験は金曜日に行われるはずであるが、その一貫性を証明できないため、その結論に到達できない。
• 任意の日 i < 5 に対して、学生は m ≠ i を導出できない。これは、必要な証明可能性条件が Con(T + S) に依存しており、T + S 内では証明できないため、帰納的推論が遮断される。
• 鍵となる洞察は、パラドックスが論理的不整合に起因するのではなく、体系内で一貫性を証明できるという隠れた仮定に起因することである。これはゲーデルの第二不完全性定理により不可能である。