[論文レビュー] The symplectic 2-form and Poisson bracket of null canonical gravity

Michael Reisenberger|ArXiv.org|Mar 27, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、真空中一般相対性理論における二つの交差する光的超曲面からなる初期データ超曲面上に、ペイエルズの規定を用いて可観測量を定義し、シンプレクティック2形式の一般化逆行列を導出して、自由初期データのすべての成分に対する明示的ブラケットを導出する。主要な結果は、初期データ変数間のブラケットに対する閉形式の表現であるが、ジャコビ恒等式を満たさないため、標準的でないポアソン構造であることが示唆される。ただし、可観測量においてペイエルズブラケットを正しく再現している。

ABSTRACT

It is well known that free (unconstrained) initial data for the gravitational field in general relativity can be identified on an initial hypersurface consisting of two intersecting null hypersurfaces. Here the phase space of vacuum general relativity associated with such an initial data hypersurface is defined; a Poisson bracket is defined, via Peierls' prescription, on sufficiently regular functions on this phase space, called ``observables''; and a bracket on initial data is defined so that it reproduces the Peierls bracket between observables when these are expressed in terms of the initial data. The brackets between all elements of a free initial data set are calculated explicitly. The bracket on initial data presented here has all the characteristics of a Poisson bracket except that it does not satisfy the Jacobi relations (even though the brackets between the observables do). The initial data set used is closely related to that of Sachs. However, one significant difference is that it includes a ``new'' pair of degrees of freedom on the intersection of the two null hypersurfaces which are present but quite hidden in Sachs' formalism. As a step in the calculation an explicit expression for the symplectic 2-form in terms of these free initial data is obtained.

研究の動機と目的

• 二つの交差する光的超曲面からなる(piecewise null)超曲面上の初期データを用いて、真空中一般相対性理論の位相空間上にポアソンブラケットを定義すること。
• 初期データセット上で、可観測量（微分同相変換不変）のペイエルズブラケットを、データの言語で表現したときに再現されるブラケットを構築すること。
• サックスの元来の形式的枠組みに存在しない、光的超曲面の交線に位置する新たな自由度のペアを特定し、それらを含めること。
• 自由初期データの言語でシンプレクティック2形式の明示的表現を導出し、ブラケットの構築を可能にすること。
• 初期データ上で真のポアソンブラケット（ジャコビ恒等式を満たすもの）が得られ、かつ可観測量上でペイエルズブラケットを再現できるかを調査すること。

提案手法

• 論文は、場のゲージや時間ゲージの選択に依存しない、微分同相変換不変関数（可観測量）の族に対してペイエルズの規定を用いてポアソンブラケットを定義する。
• 可観測量間のブラケットがペイエルズブラケットと一致するように、初期データセット上でブラケットを定義するため、シンプレクティック2形式の一般化逆行列を構築する。
• 自由初期データ（特に共形2次元計量と光的交線における新たな自由度を含む）の言語で、シンプレクティック2形式を明示的に導出する。
• 線形化されたアインシュタイン方程式を、遅延および先進グリーン関数を用いて解き、摂動を簡略化するために横方向ゲージ条件を用いる。
• 光的超曲面を曲率（コルチス）を避けるために切断するため、境界項を慎重に取り扱い、真の逆行列ではなく一般化逆行列を用いる必要が生じる。
• メトリックの変動を光的超曲面上のデータの言語で表現し、グリーン関数と境界積分を含む積分表現を用いてブラケットを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真空中一般相対性理論における二つの交差する光的超曲面からなる初期データ超曲面上に、閉形式のポアソンブラケットを構築できるか？
• RQ2 初期データ上で定義されたブラケットが、可観測量が初期データの言語で表現された場合にペイエルズブラケットを再現するか？
• RQ3 二つの光的超曲面の交線に位置する新たな自由度ペアの役割は何か？ それらはシンプレクティック構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 構築されたブラケットがなぜジャコビ恒等式を満たさないのか？ これは根本的な障害であるのか、それとも使用した手法の結果であるのか？
• RQ5 可観測量上でペイエルズブラケットを再現する真のポアソンブラケット（ジャコビ恒等式を満たすもの）が初期データ上で得られるか？

主な発見

• 論文は、真空中一般相対性理論の、二つの交差する光的超曲面からなる(piecewise null)超曲面上の完全な自由初期データセットのすべての要素間の明示的閉形式ブラケットを導出する。
• 異なる点における共形2次元計量間のブラケットは、ギャンビーニとレスタッチャの系列を合算した結果と一致し、手法の妥当性を裏付ける。
• 二つの光的超曲面の交線に位置する、サックスの形式的枠組みに存在しないが隠れていた新たな自由度ペアが同定された。
• 自由初期データ（共形2次元計量と交線における新たな変数を含む）の言語でシンプレクティック2形式を明示的に計算した。
• 初期データ上で構築されたブラケットは、可観測量上でペイエルズブラケットを正しく再現するが、ジャコビ恒等式を満たさない。
• ジャコビ恒等式の不成立は、コルチスを避けるために光的超曲面を切断する際の境界の存在に起因し、シンプレクティック2形式が真の逆行列を持たないため、一般化逆行列を必要としている。