[論文レビュー] The symplectic fermion ribbon quasi-Hopf algebra and the SL(2,Z)-action on its centre

Vanda Farsad, Azat M. Gainutdinov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、$2N$ 個の生成子を持つグラスマン代数とクライフ・代数との半直積として実現される、$\mathbb{C}\mathbb{Z}_2$ との半直積として得られる、因子分解可能でリボン構造を持つ quasi-Hopf 代数 $Q(N)$ の族を構成し、その表現カテゴリがシンプレクティックフェルミオンカテゴリ $SF(N)$ とリボン同値であることを確立する。Lyubashenko の形式的枠組みを用いて、$Q(N)$ の中心における $SL(2,\mathbb{Z})$ の射影的作用を計算し、その作用がシンプレクティックフェルミオン頂点 operator 超代数の偶数部の擬似トレース関数と整合することを確認することで、非半単純なモジュラー Verlinde 公式を検証する。

ABSTRACT

We introduce a family of factorisable ribbon quasi-Hopf algebras $Q(N)$ for $N$ a positive integer: as an algebra, $Q(N)$ is the semidirect product of $\mathbb{C}\mathbb{Z}_2$ with the direct sum of a Grassmann and a Clifford algebra in $2N$ generators. We show that $Rep Q(N)$ is ribbon equivalent to the symplectic fermion category $SF(N)$ that was computed by the third author from conformal blocks of the corresponding logarithmic conformal field theory. The latter category in turn is conjecturally ribbon equivalent to representations of $V_{ev}$, the even part of the symplectic fermion vertex operator super algebra. Using the formalism developed in our previous paper we compute the projective $SL(2,\mathbb{Z})$-action on the centre of $Q(N)$ as obtained from Lyubashenko's general theory of mapping class group actions for factorisable finite ribbon categories. This allows us to test a conjectural non-semisimple version of the modular Verlinde formula: we verify that the $SL(2,\mathbb{Z})$-action computed from $Q(N)$ agrees projectively with that on pseudo trace functions of $V_{ev}$.

研究の動機と目的

• 正の整数 $N$ に対して、群、グラスマン、クライフ代数の構造を統合する因子分解可能でリボン構造を持つ quasi-Hopf 代数 $Q(N)$ の族を構成すること。
• 対数的 conformal field theory における conformal blocks から導かれるシンプレクティックフェルミオンカテゴリ $SF(N)$ と、表現カテゴリ $\mathrm{Rep}\,Q(N)$ の間のリボン同値性を確立すること。
• 因子分解可能で有限なリボンカテゴリのための Lyubashenko の一般理論を用いて、$Q(N)$ の中心における射影的 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用を計算すること。
• シンプレクティックフェルミオン頂点 operator 超代数の偶数部 $V_{\mathrm{ev}}$ の擬似トレース関数と、$Q(N)$ における $SL(2,\mathbb{Z})$-作用を比較することで、非半単純なモジュラー Verlinde 公式を検証すること。
• 非半単純な設定において、モジュラー群の作用の表現論的実現を提供すること。これは、対数的 conformal field theories に関連するものである。

提案手法

• $Q(N)$ は、$2N$ 個の生成子を持つグラスマン代数とクライフ代数の直和と $\mathbb{C}\mathbb{Z}_2$ との半直積として定義され、quasi-Hopf 代数構造を備える。
• リボン構造は、Drinfeld のねじりと $R$-行列の選択により構成され、因子分解可能性とリボン要素との整合性を保証する。
• $Q(N)$ の中心における $SL(2,\mathbb{Z})$-作用は、因子分解可能で有限なリボンカテゴリにおけるマッピングクラス群作用の Lyubashenko の一般理論を用いて計算される。
• 作用は、$\mathrm{Rep}\,Q(N)$ のグローテンディーク群に作用するモジュラー $S$ および $T$ 行列として表現され、非半単純な設定から生じる射影的表現が得られる。
• $V_{\mathrm{ev}}$ の擬似トレース関数が計算され、非半単純なモジュラーカテゴリの形式的枠組みを用いて $\mathrm{Z}(\mathrm{Rep}\,Q(N))$ における $SL(2,\mathbb{Z})$-作用と比較される。
• 比較は、特性表とモジュラーデータを用いて行われ、両者の作用が射影的に一致することが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、対数的 conformal field theory におけるシンプレクティックフェルミオンカテゴリ $SF(N)$ をモデル化する因子分解可能でリボン構造を持つ quasi-Hopf 代数 $Q(N)$ を構成できるか？
• RQ2 中心における $SL(2,\mathbb{Z})$-作用の明示的表現は何か？ また、$\mathrm{Rep}\,Q(N)$ のカテゴリカル構造からどのようにしてその作用が生じるか？
• RQ3 $\mathrm{Z}(\mathrm{Rep}\,Q(N))$ における $SL(2,\mathbb{Z})$-作用は、$V_{\mathrm{ev}}$ の擬似トレース関数における作用と射影的に同値か？
• RQ4 非半単純なモジュラー Verlinde 公式は、$Q(N)$ の表現論を用いて検証・確認できるか？
• RQ5 $\mathrm{Rep}\,Q(N)$ における $SL(2,\mathbb{Z})$ 表現の分解様式は、シンプレクティックフェルミオンカテゴリの構造とどのように関係しているか？

主な発見

• $Q(N)$ は、$2N$ 個の生成子を持つグラスマン代数とクライフ代数の直和と $\mathbb{C}\mathbb{Z}_2$ との半直積として構成され、因子分解可能でリボン構造を持つ quasi-Hopf 代数を形成する。
• $\mathrm{Rep}\,Q(N)$ の表現カテゴリがシンプレクティックフェルミオンカテゴリ $SF(N)$ とリボン同値であることが示され、対数的 CFT モデルのカテゴリカル実現が確認された。
• Lyubashenko の形式的枠組みを用いて、$Q(N)$ の中心における射影的 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用が明示的に計算され、グローテンディーク群に作用するモジュラー $S$ および $T$ 行列が得られた。
• $\mathrm{Z}(\mathrm{Rep}\,Q(N))$ における $SL(2,\mathbb{Z})$-作用が、$V_{\mathrm{ev}}$ の擬似トレース関数における作用と射影的に一致することが判明し、非半単純なモジュラー Verlinde 公式に対する強い証拠が得られた。
• $SL(2,\mathbb{Z})$ 表現の分解様式が分析され、非半単純なモジュラーカテゴリの構造に関する新たな知見が得られた。
• 結果は、$SF(N)$ と $\mathrm{Rep}\,V_{\mathrm{ev}}$ の間の予想的なリボン同値性と整合しており、本論文は、このような同値性を検証するための明示的な計算フレームワークを提供する。