[論文レビュー] The symplectic geometry of cotangent bundles from a categorical viewpoint

Kenji Fukaya, Paul Seidel+1 more|ArXiv.org|May 23, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、包合的ホモトピー的理解を進めるために、包合的フォーブィ・カテゴリとファミリーフォーブィ・コホモロジーを導入し、$T^*Z$ 内の正確でスピンなラグランジュ部分多様体（$Z$ が単連結かつスピン）がゼロ断面と quasi-isomorphic であることを統一的に証明する手法を提供する。この手法により、同相的コホモロジーと最小交差境界が保証される。

ABSTRACT

We describe various approaches to understanding Fukaya categories of cotangent bundles. All of the approaches rely on introducing a suitable class of noncompact Lagrangian submanifolds. We review the work of Nadler-Zaslow (math/0604379, math/0612399) and the authors (math/0701783), before discussing a new approach using family Floer cohomology and the ``wrapped Fukaya category''. The latter, inspired by Viterbo's symplectic homology, emphasises the connection to loop spaces, hence seems particularly suitable when trying to extend the existing theory beyond the simply-connected case.

研究の動機と目的

• コタンジェントバンドル内の正確ラグランジュ部分多様体の理解を、古典的なアーノルド予想を越えて、単連結でない、あるいは高次元の設定において拡張すること。
• 非コンパクトラグランジュ部分多様体を含むカテゴリカルな枠組み、特に包合的フォーブィ・カテゴリ $\mathcal{W}(M)$ を構築し、コタンジェントバンドルのシンプレクティックトポロジーを捉えること。
• ナドラー＝ザスロー、フカヤ＝セイデル＝スミス、および新しいファミリーフォーブィ・コホモロジー法の三つの独立した手法を、共通のカテゴリカル言語によって統一すること。
• マスロフ類が消える正確でスピンなラグランジュ部分多様体 $L \subset T^*Z$ が、ゼロ断面とコホモロジカルに同値であることを証明し、4次元での既知の結果を一般化すること。
• 特に $Z$ がエイレンベルク＝マクライン空間の場合に、ラグランジュ部分多様体を群環上のモジュールとして、層論的解釈すること。

提案手法

• $M = T^*Z$ の包合的フォーブィ・カテゴリ $\mathcal{W}(M)$ を導入し、コタンジェント・ファイバーなどの非コンパクトラグランジュ部分多様体を含み、シンプレクティックトポロジーのカテゴリカルな取り扱いを可能にする。
• ファミリーフォーブィ・コホモロジー $HF^*(T^*_x, L)$ を用いて、基底 $Z$ 上の平坦な $\mathbb{Z}$-次数付きベクトルバンドル $E_L$ を構成し、ラグランジュ部分多様体 $L$ の交差性を符号化する。
• $HF^*(L,L) \cong H^*(L;\mathbb{K})$ に収束するスペクトル系列を構成し、$E_2$-頁が $H^r(Z; \mathrm{End}^s(E_L))$ である。$Z$ が単連結で $E_L$ が自明な場合、この系列は退化する。
• $Z$ が単連結であるため $E_L$ が自明であることを用いて、$H^*(L;\mathbb{K}) \cong H^*(Z;\mathbb{K})$ を導出し、$L \to Z$ の射影の次数が $\pm1$ であることを示す。
• $Z = K(\Gamma,1)$ の場合、$A_\infty$-関手 $\mathcal{W}(M) \to \mathrm{mod}(CW^*(T^*_x, T^*_x))$ を用いて、$\mathcal{W}(M)$ を $\mathbb{K}[\Gamma]$ 上の $A_\infty$-モジュールのカテゴリにモデル化し、そのコホモロジーが $E_L$ と同型であることを示す。
• $\mathrm{Ext}^r_{\mathbb{K}[\Gamma]}(N_L, N_L[1-r])$ の障害理論を用いて、$A_\infty$-モジュールの形式性を検出する。$H^*(\Gamma;\mathbb{K})$ が次数 1 で生成される場合、有限被覆を用いて正の特性における障害を消去する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包合的フォーブィ・カテゴリのカテゴリカル枠組みは、$T^*Z$ 内の正確ラグランジュ部分多様体に対するアーノルド予想を統一的に証明できるか？
• RQ2 ファミリーフォーブィ・コホモロジーと $\mathbb{K}[\Gamma]$-モジュール上の $A_\infty$-構造は、$T^*Z$ 内のラグランジュ部分多様体のトポロジーをどのように反映するか？
• RQ3 どのような条件下で、有限被覆を用いて $A_\infty$-モジュールを形式的（そのコホモロジーと quasi-isomorphic）にできるか？特に正の特性において。
• RQ4 マスロフ類とスピン構造は、$L$ とゼロ断面とのカテゴリカル同値性において果たす役割は何か？
• RQ5 $E_L$ が自明でない場合に、$E_2$ から $HF^*(L,L)$ へのスペクトル系列を用いて、$L$ のコホモロジカル不変量を導出できるか？

主な発見

• 単連結でスピンな閉じた多様体 $Z$ でマスロフ類が消える場合、任意の正確でスピンなラグランジュ部分多様体 $L \subset T^*Z$ は、$Z$ への射影の次数が $\pm1$ であり、任意の体 $\mathbb{K}$ に対して $H^*(L;\mathbb{K}) \cong H^*(Z;\mathbb{K})$ を誘導する。
• $E_L$ が自明な場合、$E_2^{rs} = H^r(Z; \mathrm{End}^s(E_L))$ から $HF^*(L,L)$ へのスペクトル系列は退化し、$H^*(L;\mathbb{K}) \cong H^*(Z;\mathbb{K})$ を得る。
• $Z = K(\Gamma,1)$ の場合、包合的フォーブィ・カテゴリ $\mathcal{W}(T^*Z)$ は $\mathbb{K}[\Gamma]$ 上の $A_\infty$-モジュールのカテゴリに完全に埋め込まれ、その像は自由モジュールの部分カテゴリに含まれる。
• 正の特性 $p$ において、$H^*(\Gamma;\mathbb{K})$ が次数 1 で生成される場合、$Z$ の有限被覆が存在し、その引き戻しラグランジュ部分多様体 $\tilde{L}$ は $\mathcal{W}(\tilde{M})$ 内でゼロ断面と同型である。
• $A_\infty$-モジュール $\mathcal{N}_L$ は、すべての障害が $\mathrm{Ext}^r_{\mathbb{K}[\Gamma]}(N_L, N_L[1-r])$ 内に存在しない場合、形式的（コホモロジーと quasi-isomorphic）である。これは、有利な状況では有限被覆を用いて強制できる。
• $T^*Z$ にグローバルなサンダーバルがコタンジェント・ファイバーとして存在するレフシェッツペンシルが存在する場合（例：$T^*T^n \cong (\mathbb{C}^*)^n$）、特性 $\neq 2$ の場合でも未解決の予想に依存しない。