[論文レビュー] The syntomic regulator for $K_4$ of curves

Amnon Besser, Rob de Jeu|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、良い還元を持つ $p$-進体上の曲線 $C$ に対して、$K_4^{(3)}(C)$ 上のシントミックリグレーターを計算し、$p$-進ポリログおよびコールマン積分を用いて結果を表現する。主な貢献は、ド・ラームコホモロジー類とのリグレーター対応を、三重線形写像（「三重インデックス」）と点における局所インデックスを用いて定式化し、古典的リグレーターを $p$-進設定に一般化することにある。

ABSTRACT

Let $C$ be a curve defined over a discrete valuation field of characteristic zero where the residue field has positive characteristic. Assuming that $C$ has good reduction over the residue field, we compute the syntomic regulator on a certain part of $K_4^[(3)}(C)$. The result can be expressed in terms of $p$-adic polylogarithms and Coleman integration. We also compute the syntomic regulator on a certain part of $K_4^[(3)}(F)$ for the function field $F$ of $C$. The result can be expressed in terms of $p$-adic polylogarithms and Coleman integration, or by using a trilinear map ("triple index") on certain functions.

研究の動機と目的

• 良い還元を持つ $p$-進体上の滑らかで、固有かつ幾何学的に既約な曲線 $C$ に対して、$K_4^{(3)}(C)$ 上のシントミックリグレーターを計算すること。
• ド・ラームコホモロジー類とのリグレーター対応を、$p$-進ポリログおよびコールマン積分を用いて表現すること。
• $F = K(C)$ に対して $K_4^{(3)}(F)$ の元に対して有効な三重線形写像（「三重インデックス」）を用いた、リグレーターの明示的公式を提供すること。
• ド・ラームコホモロジー $H^1_{\text{dR}}(C/K)$ への射影を用いて、複素解析的リグレーター公式の $p$-進類似を確立すること。

提案手法

• 曲線の特異ファイバー上で一般に定義された関数の局所環 $\mathcal{O}$ 上で定義されるモチビック複体 $\mathcal{M}_{(3)}(\mathcal{O})$ を用いる。
• 要素 $H^2(\mathcal{M}_{(3)}(\mathcal{O}))$ に対してシントミックリグレーターを適用し、ド・ラームコホモロジー同型を介して $H^1_{\text{rig}}(\mathscr{C}_\kappa/K)$ にマッピングする。
• コールマン積分および $p$-進ポリログを用いて、1-形式 $\omega$ とのリグレーター対応を表現し、公式 $\operatorname{reg}_p(\alpha) \cup \omega \in K$ を用いる。
• 三重線形写像 $I(f,g,h)$ 及びその置換に関する交代和を用いてリグレーターを定義し、恒等式 $\sum_i (1-g_i) \wedge g_i \wedge f_i = 0$ を活用する。
• 特異点における局所インデックス $c_z$ を適用し、無限遠点を含むすべての点からの寄与を接合公式を用いて統合する。
• 特に剛体コホモロジーとド・ラームコホモロジーの比較に着目した $p$-進積分および $p$-進ホッジ理論に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 良い還元を持つ $p$-進体上の曲線に対して、$K_4^{(3)}(C)$ 上のシントミックリグレーターをどのように明示的に計算できるか？
• RQ2 曲線上の $K_4$-類に対して、複素解析的リグレーター公式の $p$-進類似は何か？
• RQ3 ド・ラームコホモロジーとのリグレーター対応は、$p$-進ポリログおよびコールマン積分を用いて表現可能か？
• RQ4 関数上の三重線形写像（「三重インデックス」）は、$p$-進設定におけるリグレーターとどのように関係するか？
• RQ5 局所インデックスおよび定数項補正は、リグレーターの最終公式においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• シントミックリグレーターは、$p$-進ポリログおよびコールマン積分を用いて明示的に計算され、局所インデックスおよび三重線形写像の式として表現される。
• $\alpha \in K_4^{(3)}(C)$ および $\omega \in H^1_{\text{dR}}(C/K)$ に対して、リグレーター対応 $\operatorname{reg}_p(\alpha) \cup \omega$ は、$\operatorname{ord}_y(f_i)$、$c_z(\int \log(\cdot) F_\omega \, d\!\log(\cdot))$、および三重線形項を含む点ごとの局所寄与の和として表現される。
• この公式は、$\sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) I(f_i, g_i, 1-g_i)^\sigma$ の形の三重インデックスの和に等しく、コycle条件 $\sum_i (1-g_i) \wedge g_i \wedge f_i = 0$ により消えるため、一貫性が保証される。
• 最終的な式は、$\operatorname{ord}_y(g_i)$ および $\operatorname{ord}_y(1-g_i)$ を含む項、および $\log(f_i)$ を $F_\omega \, d\!\log(g_i)$ および $F_\omega \, d\!\log(1-g_i)$ に対して積分した項の組み合わせに簡略化される。
• この結果は、コールマンおよびド・シャリトの既知の $p$-進リグレーター公式と整合しており、$d\textup{L}_{\textup{mod},2}(g)$ が正則でないため、単純なヒューリスティックとは4倍の因子の違いがある。
• 無限遠点における定数項補正の使用は、正しいグローバル公式を回復するために不可欠であり、最終的な式は $H^1_{\text{dR}}(C/K)$ への接合および射影を経由して評価した場合、期待されるリグレーターと一致することが示された。