[論文レビュー] The Systematic Measurement Errors and Uncertainty Relation

T. F. Kamalov|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2006

Scientific Measurement and Uncertainty Evaluation被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、位置の高次時間微分が無視されたことによる系の測定誤差——非慣性系におけるもの——が、量子不確定性関係を生じさせると提案している。これは、量子不確定性そのものではなく、量子力学的不確定性とは限らない。オストログラツキーの正準形式を用いてラグランジアンに高次微分を含めることで、シュレーディンガー型方程式が導かれる。これは、量子不確定性が、本質的な量子公理ではなく、参照枠の不完全性に起因する可能性を示唆している。

ABSTRACT

Inertial effects in non-inertial reference frames are compared with quantum properties of tests objects. The real space-time and perfect inertial reference frame can be compared accurate to the uncertainty relation. Complexities if describing micro-object in non-inertial reference-frames are avoidable using Ostrogradski's Canonical Formalism.

研究の動機と目的

• 量子力学的不確定性の起源を、量子公理に依存するのではなく、現実の（非理想な）参照枠における系統的誤差によって説明すること。
• 高次時間微分が無視されたことによるニュートン力学の非慣性系における運動記述の限界を扱うこと。
• オストログラツキーの正準形式を用いて、高次微分を含む古典的力学を再定式化し、慣性力のより正確なモデル化を図ること。
• 高次微分寄与から量子ポテンシャル項 $ Q $ を導出し、それを第一近似でシュレーディンガー方程式と結びつけること。
• 量子的挙動、特に不確定性関係が、不完全な参照枠における古典的力学から生じうることを提案すること。

提案手法

• 加速度を超えるすべての高次時間微分を含む、位置関数 $ r(t) $ のテイラー展開を実施する。
• 実際の運動とニュートン近似との差を表す隠れ変数 $ q_r $ を定義し、高次微分項を無視した結果を区別する。
• 作用の差 $ S - S_{\text{Newton}} = nh $ を導入し、$ h $ を隠れ作用の上限とすることで不確定性と関連付ける。
• 高次微分 $ \overset{\cdot(n)}{r} $ に依存するラグランジアンにオストログラツキー形式を適用し、一般化されたオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 有効な量子ポテンシャル $ Q = \sum p^{(n)} \overset{\cdot(n)}{a} $ を含む修正されたジャコビ＝ハミルトン方程式を導出する。これは非慣性効果を表す。
• 第一近似において $ Q \approx \frac{i\hbar m}{2} \frac{\nabla^2 S}{m^2} $ が成り立ち、$ \psi = e^{iS/\hbar} $ に対してシュレーディンガー方程式が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非慣性参照枠における系統的測定誤差が、量子力学における不確定性関係を説明できるか？
• RQ2 位置の高次時間微分が、現実の参照枠におけるニュートン力学からのずれにどのように寄与するか？
• RQ3 オストログラツキーの正準形式が、慣性力を伴う非慣性系の力学をどの程度正確に記述できるか？
• RQ4 量子ポテンシャル $ Q $ が、古典的非慣性効果と量子的挙動を統合する役割を果たすか？
• RQ5 座標と運動量の不確定性は、本質的な量子不確定性ではなく、参照枠の不完全性の結果であるか？

主な発見

• 非慣性系において高次微分を無視することによる系統的誤差は、作用の差 $ S - S_{\text{Newton}} = nh $ として現れ、$ h $ は隠れ作用の上限として機能する。
• モデルは、量子ポテンシャル $ Q \approx \frac{i\hbar m}{2} \frac{\nabla^2 S}{m^2} $ を高次微分寄与から特定することで、第一近似においてシュレーディンガー方程式を導出する。
• 有効な量子ポテンシャル $ Q $ は、高次微分に対する共共役運動量 $ p^{(n)} = \partial L / \partial \overset{\cdot(n+1)}{r} $ から生じ、全エネルギーに寄与する。
• 非慣性系における運動方程式は $ \frac{dS}{dt} = \frac{\partial S}{\partial t} + \frac{(\nabla S)^2}{2m} + Q $ と表され、$ Q $ が非慣性効果を捕捉する。
• 座標と運動量の不確定性は、量子公理そのものではなく、参照枠の不完全性の結果であると解釈される。
• モデルは、リチックまたは静的な重力場が参照枠の揺らぎを引き起こし、量子不確定性に関連する系統的測定誤差に寄与する可能性を示唆している。