[論文レビュー] The SzegÖ kernel on an orbifold circle bundle

Jian Song|ArXiv.org|May 5, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、有限個の孤立特異点を持つコンパクトなケーラー・オルビフォールドへ、Zelditchのベーグマン核の漸近展開を一般化する。高次の正の線束の正規直交全純セクションのノルムの二乗和が、オルビフォールド点におけるデルタ関数特異点を含む完全な漸近展開を持つことを示す。主な結果として、曲率不変量と展開における係数の間の明確な対応関係を確立し、特異点における残留項の明示的公式を導出する。

ABSTRACT

The analysis of holomorphic sections of high powers $L^N$ of holomorphic ample line bundles $L o M$ over compact Kähler manifolds has been widely applied in complex geometry and mathematical physics. The Tian-Yau-Zelditch's asymptotic expansion of the Szegö kernel of a circle bundle plays an important role in Kähler-Einstein geometry. We generalize the expansion for compact Kähler orbifolds with only finite isolated singularities and analyze the behavior of the expansion near the singularities.

研究の動機と目的

• 滑らかなケーラー多様体から、有限個の孤立特異点を持つコンパクトなケーラー・オルビフォールドへ、Zelditchのベーグマン核の漸近展開を拡張すること。
• 標準的な漸近展開が失敗するオルビフォールド特異点付近におけるベーグマン核の振る舞いを分析すること。
• 正の線束の高次のベキの正規直交全純セクションのノルムの二乗和に対する完全な漸近展開を導出すること。
• 特に特異点における残留項を、オルビフォールド群作用と曲率不変量の観点から、展開の係数として明示的に計算すること。
• スケーリングされたFubini-Study計量が、Sobolevおよび Hölder 範囲で最良の速度で元のケーラー計量に収束することを確立すること。

提案手法

• Boutet de Monvel-SjöstrandのSzegö核のパラメトリックス構成を、特異点を分布的補正を用いてオルビフォールド設定へ適応する。
• HörmanderのL²推定とピークセクション技法を用いて、特異点付近でのセクションの成長を制御する。
• 全純重みを用いた重み付きL²内積を導入し、計量の摂動および関連するベーグマン核を研究する。
• 定常位相法と複素解析技法を用いて、特に特異点におけるデルタ関数寄与を含む漸近展開の主要項を計算する。
• 群表現論とオルビフォールド局所モデルを用いて、残留係数の明示的公式 $ b(i) = \frac{1}{|G_i|} \sum_{1 \neq g \in G_i} \frac{1}{\det(I - g|T_{z_i})} $ を導出する。
• 測地線距離 $ r $ を特異点集合からの距離として用い、熱核推定と特異点付近での指数的減衰を組み合わせることで、$ C^k $ および $ L^p $ 収束速度を明示的に確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な滑らかな手法が失敗する孤立特異点をもつケーラー・オルビフォールド上でのベーグマン核の漸近的性質は、どのように振る舞うか？
• RQ2 特に特異点付近において、オルビフォールド上での全純セクションのノルムの二乗和の漸近展開の正確な構造は何か？
• RQ3 特異点における残留項は、局所群作用と曲率不変量の観点から明示的に計算可能か？
• RQ4 スケーリングされたFubini-Study計量の引き戻しは、オルビフォールド上で元のケーラー計量に収束するか？収束速度は？
• RQ5 Hölder または Sobolev 範囲で計量近似の収束が成り立つための条件は何か？

主な発見

• 正規直交全純セクションのノルムの二乗和は完全な漸近展開を持つ：$ \sum_{i=0}^{d_N} \|S_i^N(z)\|^2_{h_N} \sim a_0 N^n + a_1(z) N^{n-1} + \cdots + a_n(z) + \sum_{i=1}^m b(i) \delta_{z_i}(z) + a_{n+1}(z) N^{-1} + \cdots $、ここで $ a_0 = 1 $ である。
• 係数 $ a_1(z) $ は、オルビフォールドケーラー計量 $ g $ のスカラー曲率に一致し、滑らかな場合の一般化である。
• 各特異点 $ z_i $ における残留項は $ b(i) = \frac{1}{|G_i|} \sum_{1 \neq g \in G_i} \frac{1}{\det(I - g|T_{z_i})} $ で与えられ、局所群作用にのみ依存する。
• ベーグマン核とその主要漸近項との差は、$ N \to \infty $ のとき、特異点におけるデルタ関数の和に弱収束する。
• $ C^k $ 範囲における収束速度は、$ C_{R,k}(N^{n-R} + N^{n + k/2} e^{-\delta N r^2}) $ で有界であり、特異点から離れるに従い指数的減衰が見られる。
• Fubini-Study計量のスケーリングされた引き戻しは、$ C^k $ 範囲で、$ \| \frac{1}{N} \Phi_N^* \omega_{FS} - \omega \|_{C^k} \leq C_k (N^{-1} + N^{k/2} e^{-\delta N r^2}) $ の速度で元のケーラー計量に収束し、特異点付近で最良の減衰を示す。