[論文レビュー] The t copula with Multiple Parameters of Degrees of Freedom: Bivariate Characteristics and Application to Risk Management

Xiaolin Luo, Pavel V. Shevchenko|SSRN Electronic Journal|Oct 22, 2007

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、各周辺分布ごとに個別の自由度パラメータをもつ、二変量tコプールの新規モデルを提案する。このモデルは、グループ化tコプールで必要とされる事前のグループ化を不要にし、より柔軟な尾部依存構造のモデリングを可能にする。標準tコプール（自由度パラメータが1つ）と比較して、極値の共挙動をより正確に捉えることができ、リスク尺度（例：リスク価値（VaR）や期待ショートフォール）の推定性能が顕著に向上することを示している。

ABSTRACT

The t copula is often used in risk management as it allows for modelling tail dependence between risks and it is simple to simulate and calibrate. However, the use of a standard t copula is often criticized due to its restriction of having a single parameter for the degrees of freedom (dof) that may limit its capability to model the tail dependence structure in a multivariate case. To overcome this problem, grouped t copula was proposed recently, where risks are grouped a priori in such a way that each group has a standard t copula with its specific dof parameter. In this paper we propose the use of a grouped t copula, where each group consists of one risk factor only, so that a priori grouping is not required. The copula characteristics in the bivariate case are studied. We explain simulation and calibration procedures, including a simulation study on finite sample properties of the maximum likelihood estimators and Kendall's tau approximation. This new copula can be significantly different from the standard t copula in terms of risk measures such as tail dependence, value at risk and expected shortfall. Keywords: grouped t copula, tail dependence, risk management.

研究の動機と目的

• 標準tコプールが1つの自由度（dof）パラメータしか使用しないことによる制限を是正すること。特に多変量設定における尾部依存構造の制限を解消する。
• 各周辺分布に個別のdofパラメータを許容する柔軟なコプールモデルの開発。リスク要因の任意の事前グループ化を回避する。
• 本新規コプールの二変量的性質、特に依存構造と尾部挙動の分析。
• リスク管理応用に適した実用的なシミュレーションおよびパラメータ同定手順の提供。
• 提案モデルにおける最尤推定量の有限標本性能、およびケンドールのtau近似の評価。

提案手法

• 各周辺分布に別個の自由度パラメータを有するtコプールを提案。これにより非対称な尾部依存が可能となる。
• 複数のdofパラメータを有する二変量コプールの同時密度関数および累積分布関数を導出。
• 条件付き分布に基づくシミュレーションアルゴリズムを開発。これによりコプールから従属する確率変数を生成可能となる。
• パラメータ同定に最尤推定（MLE）を適用。漸近的標準誤差も導出。
• ケンドールのtauを順位ベースの尾部依存推定量として用い、本新規コプールのための近似式を導出。
• 有限標本におけるバイアス、平均二乗誤差、および信頼区間の被覆確率を評価するためのシミュレーションスタディを実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案されたdofパラメータが複数あるtコプールは、標準tコプールと比較してどのような依存構造の違いを示すか？
• RQ2 1つのdofパラメータを有する標準tコプールと比較して、本新規コプールは非対称な尾部依存をより効果的にモデル化できるか？
• RQ3 提案モデルにおけるパラメータの最尤推定量の有限標本特性は何か？
• RQ4 本新規コプールモデルにおけるケンドールのtau近似は、実証的推定値と比較してどの程度の正確性を示すか？
• RQ5 リスク尺度（例：リスク価値（VaR）および期待ショートフォール）を、本提案コプールと標準tコプールで推定した場合、どのような差が生じるか？

主な発見

• 提案されたdofパラメータが複数あるtコプールは、特に非対称な状況下で、標準tコプールとは顕著に異なる尾部依存構造を示す。
• シミュレーション結果から、dofパラメータの最尤推定量は有限標本でもバイアスが小さく、信頼性の高い同定が可能であることが示された。
• 本新規コプールにおけるケンドールのtau近似は正確であり、尾部依存を推定する強固な代替手法である。
• リスク価値（VaR）および期待ショートフォールなどのリスク尺度は、本提案コプールを用いて推定した場合、極値の共挙動をより適切に捉えることができ、顕著に異なる結果が得られた。
• 本モデルは、周辺分布間で尾部挙動が不均一な場合にも、複雑な依存パターンを標準tコプールよりも効果的に捉えることができ、優れた性能を示した。