[論文レビュー] The tail empirical process of regularly varying functions of geometrically ergodic Markov chains

Rafał Kulik, Philippe Soulier+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2015

Statistical Methods and Inference参考文献 40被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、幾何的エルゴード性を持つマルコフ連鎖から導かれる正規変動時間系列に対して、チェック可能な幾何的ドリフト（フォスター＝リャプノフ）条件の下で、尾部経験過程の弱収束を確立する。主な貢献は、尾部配列和の漸近正規性を保証する一般化された枠組みを提供し、クラスタ統計量の実用的推定を可能にするものであり、GARCHおよびAR(1)モデルへの応用を含む。

ABSTRACT

We consider a stationary regularly varying time series which can be expressedas a function of a geometrically ergodic Markov chain. We obtain practical conditionsfor the weak convergence of the tail array sums and feasible estimators ofcluster statistics. These conditions include the so-called geometric drift or Foster-Lyapunovcondition and can be easily checked for most usual time series models witha Markovian structure. We illustrate these conditions on several models and statisticalapplications. A counterexample is given to show a different limiting behaviorwhen the geometric drift condition is not fulfilled.

研究の動機と目的

• 幾何的エルゴードマルコフ連鎖の正規変動関数の尾部配列和の弱収束を確立すること。
• 尾部統計量の漸近正規性を保証する実用的で検証可能な条件、特に幾何的ドリフト条件を提示すること。
• $J_1$位相における緊密性を要請する統計的応用に向けた関数的収束結果を拡張すること。
• AR(1)およびGARCH過程を含む一般的な時間系列モデルへの応用を示すこと。
• 幾何的ドリフト条件の不成立が、反例により非標準的極限挙動を引き起こすことを示すこと。

提案手法

• 幾何的（フォスター＝リャプノフ）ドリフト条件を用いて、基礎となるマルコフ連鎖の幾何的 $β$-混合性および再帰性を保証する。
• 再帰的マルコフ連鎖の再生構造を応用し、尾部配列和の漸近正規性の上限を導出する。
• 三角行列のリンドベルク中心極限定理を適用して、有限次元収束を証明する。
• ビリングスリーの基準および擬距離エントロピー条件を用いて、$J_1$位相における関数的収束を確立する。
• 弱収束を $\ell_\infty(\mathcal{F})$ で取り扱うために、経験過程理論（GinéとNickl, 2016；van der VaartとWellner, 1996）を適応する。
• 正則変動およびモーメント条件を用いて、尾部経験過程などの関数的汎関数の明示的極限分散を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的エルゴードマルコフ連鎖によって駆動される正規変動時間系列の尾部経験過程が、弱収束する条件は何か？
• RQ2 幾何的ドリフト条件は、一般的な時間系列モデルにおける尾部配列和の漸近正規性の検証を統一的に可能にする基準として機能できるか？
• RQ3 幾何的ドリフト条件が満たされない場合、尾部経験過程の極限挙動はどのように変化し、標準的極値極限とはどのように異なるか？
• RQ4 幾何的ドリフト条件の下で、クラスタ統計量の実用的推定量をどのように構築できるか？
• RQ5 マルコフ連鎖の幾何的エルゴード性は、関数的中心極限定理に必要な混合性およびモーメント条件をどれほど保証するか？

主な発見

• 幾何的ドリフト条件により、時間系列が幾何的減衰を示す $β$-混合性を有し、弱い依存性プロセスに対する中心極限定理の適用が可能になる。
• 尾部経験過程 $\widetilde{T}_n(s)$ は、幾何的ドリフト条件の下で $D(0,\infty)$ で弱収束し、極限分散は $\frac{2s^{1-\alpha}}{\alpha(\alpha-1)}$ に等しい。
• $\mathbb{M}_n(\phi)$ の有限次元分布はガウス過程に収束し、エントロピーおよび同値連続性条件を満たせば、$J_1$位相における関数的収束が成立する。
• 尾指数 $\beta$ の正規変動Lévy過程 $Z_t$ に対して、正規化和 $\frac{1}{u_n\sqrt{n\bar{F}_Z(u_n)}}\sum_{j=1}^n \{(Z_{\sigma_{j-1}+1} - [u_n s])_+ - \mathbb{E}[(Z_0 - [u_n s])_+]\}$ は、分散 $\frac{2s^{2-\beta}}{(β-1)(\u03b2-2)}$ の正規変数に分布収束する。
• 反例により、幾何的ドリフト条件が不成立の場合、尾部経験過程の極限挙動が標準的極値極限から逸脱することが示され、この条件の必要性が裏付けられる。
• 本手法は、明示的なリャプノフ関数を用いて条件を検証可能なAR(1)およびGARCHプロセスなどの一般的なモデルに適用可能である。