[論文レビュー] The tangent groupoid of a Heisenberg manifold

Raphaël Ponge|ArXiv.org|Apr 7, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ヘイゼンベルク多様体におけるコンヌの接バンドル群の一般化を、洗練されたヘイゼンベルク座標とヘイゼンベルク微分同相写像の接近似結果を用いて構成する。主な貢献は、$M \times M$ を接リーダイナムイ群バンドル $GM$ に滑らかに変形する $b$-微分可能群ガロア $\mathcal{G}_H M$ の定義であり、これはCR多様体および接触多様体上の擬微分作用素のインデックス理論の幾何的枠組みを可能にする。

ABSTRACT

As a step toward proving an index theorem for hypoelliptic operators Heisenberg manifolds, including those on CR and contact manifolds, we construct an analogue for Heisenberg manifolds of Connes' tangent groupoid of a manifold $M$. As it is well known for a Heisenberg manifold $(M,H)$ the relevant notion of tangent is rather that of Lie group bundle of graded 2-step nilpotent Lie groups $GM$. We then construct the tangent groupoid of $(M,H)$ as a differentiable groupoid $\cG_{H} M$ encoding the smooth deformation of $M imes M$ to $GM$. In this construction a crucial use is made of a refined notion of privileged coordinates and of a tangent approximation result for Heisenberg diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク多様体、特にCR多様体および接触多様体における擬微分作用素のインデックス定理を証明するための幾何的枠組みを構築すること。
• リーマン幾何からヘイゼンベルク幾何へのコンヌの接群ガロア構成の一般化であり、接空間が階数付きノルムリーダイナムイ群バンドルに置き換えられるものである。
• 集合論的分解 $\mathcal{G}_H M = GM \sqcup (M \times M \times (0,\infty))$ を持つ、$M \times M$ から接リーダイナムイ群バンドル $GM$ への滑らかな変形を確立すること。
• 非楕円的擬微分作用素計算を介して、アティヤ＝シンガーのインデックス定理を擬微分作用素の設定に拡張する基盤を提供すること。

提案手法

• 接リーダイナムイ群バンドル $GM$ を $TM/H \oplus H$ として構成し、階数とリーマン形式 $\mathcal{L}$ を用いて群法則を定義する。式は $ (X_0 + X') \cdot (Y_0 + Y') = X_0 + Y_0 + \frac{1}{2}\mathcal{L}(X', Y') + X' + Y' $ である。
• ヘイゼンベルク座標（洗練された特権的座標）を導入し、ヘイゼンベルク微分同相写像が対応する点におけるリーダイナムイ群同型写像によって良好に近似されることを保証する。
• 接群ガロア $\mathcal{G}_H M$ を $GM \sqcup (M \times M \times (0,\infty))$ の直和として定義し、ヘイゼンベルク座標から導かれる位相と滑らかさ構造を用いる。
• ヘイゼンベルク座標における漸近展開を用いて、積写像の滑らかさを示すことにより、$\mathcal{G}_H M$ に $b$-微分可能群ガロア構造を導入する。
• ヘイゼンベルク微分同相写像が群ガロア同型写像 $\Phi_H: \mathcal{G}_H M \to \mathcal{G}_H' M'$ を誘導することを示し、群ガロア構造を保存することを示す。
• 局所的チャート $\gamma_\kappa$ を用いて $\Phi_H$ 及びその逆写像の滑らかさを検証し、これが $b$-微分可能群ガロアの微分同相写像であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイゼンベルク多様体に対して、コンヌの滑らかな多様体における構成を一般化した接群ガロアを構成できるか。特に、接バンドルが階数付きノルムリーダイナムイ群バンドルに置き換えられるか。
• RQ2 ヘイゼンベルク微分同相写像は、どのようにして無限小レベルでリーダイナムイ群同型写像によって近似できるか。この近似を可能にする構造は何か。
• RQ3 集合 $GM \sqcup (M \times M \times (0,\infty))$ にどのような滑らかさ構造を定義すれば、$b$-微分可能群ガロアとなるか。
• RQ4 構成された $\mathcal{G}_H M$ はヘイゼンベルク構造の対称性を尊重するか。すなわち、ヘイゼンベルク微分同相写像に関して関手的であるか。
• RQ5 接群ガロア $\mathcal{G}_H M$ を用いて、ヘイゼンベルク計算における擬微分作用素の解析的インデックスを定義できるか。

主な発見

• 接群ガロア $\mathcal{G}_H M$ は、$M \times M$ を接リーダイナムイ群バンドル $GM$ に滑らかに変形する $b$-微分可能群ガロアとして構成され、集合論的分解 $\mathcal{G}_H M = GM \sqcup (M \times M \times (0,\infty))$ を持つ。
• ヘイゼンベルク座標を用いて $\mathcal{G}_H M$ の滑らかさ構造が確立され、一貫性のある遷移写像が保証され、積写像の滑らかさが保証される。
• 重要な接近似結果が証明された：ヘイゼンベルク座標において、ヘイゼンベルク微分同相写像は対応する点における接リーダイナムイ群間のリーダイナムイ群同型写像によって良好に近似される。
• 構成は関手的である：任意のヘイゼンベルク微分同相写像 $\phi: (M,H) \to (M',H')$ は、群ガロア同型写像 $\Phi_H: \mathcal{G}_H M \to \mathcal{G}_H' M'$ を誘導し、群ガロア構造を保存する。
• $\Phi_H$ はヘイゼンベルクチャートにおける局所的表現を検証することで滑らかかつ逆写像をもつことが示され、$b$-微分可能群ガロアの微分同相写像であることが証明される。
• この結果により、$\mathcal{G}_H M$ の同型類は $(M,H)$ のヘイゼンベルク微分同相写像類にのみ依存することが示され、構成の幾何的自然性が確認される。