[論文レビュー] The tangent space to the moduli space of vector bundles on a curve and the singular locus of the theta divisor of the jacobian

B. van Geemen, Elham Izadi|ArXiv.org|May 7, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、g ≥ 4 の非双曲的代数曲線について、ランク2のベクトル束で行列式が自明なもののモジュライ空間が、Pic^{g−1}C 上の線形系 |2Θ| に埋め込まれることの証明を完了する。非安定な束 ξ⊕ξ⁻¹ における埋め込みの接空間を、平行移動されたシータ除集合 Θ_ξ の特異点集合を含む |2Θ| 内の因子の線形系として特定し、Sing(Θ_ξ) からの線形条件によって接空間の幾何的特徴づけを提供する。

ABSTRACT

We complete the proof of the fact that the moduli space of rank two bundles with trivial determinant embeds into the linear system of divisors on $Pic^{g-1}C$ which are linearly equivalent to $2Θ$. The embedded tangent space at a semi-stable non-stable bundle $ξ\oplusξ^{-1}$, where $ξ$ is a degree zero line bundle, is shown to consist of those divisors in $|2Θ|$ which contain $Sing(Θ_ξ)$ where $Θ_ξ$ is the translate of $Θ$ by $ξ$. We also obtain geometrical results on the structure of this tangent space.

研究の動機と目的

• 非双曲的曲線について g ≥ 4 の場合に、写像 Δ: M_O → |2Θ| が埋め込みであることを完全に証明すること。
• 非安定束 ξ⊕ξ⁻¹ の像における Δ(M_O) の埋め込み接空間を特徴づけること。
• 平行移動されたシータ除集合 Θ_ξ の特異点集合によって生じる線形条件を用いて、接空間の幾何的構造を同定すること。
• ヴェルリンデの公式と不変式論を用いて、曲線およびモジュライ空間のコホロロジー的データと接空間構造を関連づけること。
• M_O の特異点における接空間と、Pic^{g−1}C 上のシータ除集合の幾何学的構造との明確な関係を確立すること。

提案手法

• 半安定束 E を、D_E = {L ∈ Pic^{g−1}C : h⁰(E⊗L) > 0} と定める写像 Δ: M_O → |2Θ| を用いる。
• BravioとVerra (2000) の結果を応用し、非安定束 ξ⊕ξ⁻¹ において Δ が浸漬であることを確立する。
• 埋め込み接空間 T_ξ を、平行移動された Θ_ξ の特異点集合 Sing(Θ_ξ) を含む |2Θ| 内の因子の集合として特定する。
• 自然な準同型 h: Pic^{g−1}C → |2Θ|* を用いて、L ∈ Sing(Θ_ξ) を走る各 L に対して、|2Θ|* 内の超平面 H_L ⊂ |2Θ|* の共通部分として接空間を表現する。
• Lerayのスペクトル系列および Künneth 同型を用いたコホロロジー計算により、H^i(C^{(g−1)} × C, p^*L) および H^i(D, O_D(D) ⊗ p^*L) を解析する。
• コホロロジーの長完全系列および補題 7.7, 7.8, 7.13, 7.29 からの同型を用いて、次元を計算し、重要な写像の上への性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非安定束 ξ⊕ξ⁻¹ におけるモジュライ空間 M_O の埋め込み接空間の正確な幾何的記述は何か？
• RQ2 平行移動されたシータ除集合 Θ_ξ の特異点集合は、|2Θ| 内の Δ(M_O) の接空間とどのように関係するか？
• RQ3 接空間 T_{ξ⊕ξ⁻¹} は、特定の幾何的条件を満たす |2Θ| 内の因子の線形系として特徴づけられるか？
• RQ4 接空間 T_{ξ⊕ξ⁻¹}M_O のコホロロジー的構造は何か？ また、S²H¹(O) と ∧³H¹(O) のような成分にどのように分解されるか？
• RQ5 対称積 C^{(g−1)} 上の線分束およびその引き戻しの高次コホロロジー群は、接空間の計算とどのように関係するか？

主な発見

• 埋め込み接空間 T_ξ ⊂ |2Θ| は、平行移動されたシータ除集合 Θ_ξ の特異点集合 Sing(Θ_ξ) を含む |2Θ| 内の因子の集合に正確に一致する。
• 接空間 T_ξ は、すべての L ∈ Sing(Θ_ξ) に対して H_L ⊂ |2Θ|* の共通部分として与えられ、T_ξ = ∩_{L∈Sing(Θ_ξ)} H_L が成り立つ。
• 接空間 T_ξ の次元は (g−1)² であり、これは ξ⊕ξ⁻¹ における M_O の接空間の次元と一致する。
• 接空間 T_{O⊕O} は S²H¹(C,O) ⊕ ∧³H¹(C,O) に分解され、S²H¹(C,O) は M_O 内の Kummer 多様体 K⁰(C) に対応する。
• 商 ∧³H¹(C,O) は、Kummer 多様体の接空間を含むが、完全な接空間 T_ξ を含まない、|2Θ| 内の超平面の族によって検出可能である。
• 相対接層 T_{C^{(g−1)}} ⊗ L のコホロロジーは、スペクトル系列および同型を用いて計算され、H¹(C^{(g−1)}, T_{C^{(g−1)}} ⊗ L) ≅ (g−1)² が得られる。