[論文レビュー] The tangent splash in $\PG(6,q)$

S. G. Barwick, Wen‐Ai Jackson|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{PG}(2,q^3)$ 内の順序 $q$ の部分平面に対応する、無限遠線上の $q^2+1$ 個の点からなる接するスプラッシュ（tangent splash）の幾何的構造を、$\mathrm{PG}(6,q)$ 内のブルーク＝ブース表現を用いて調査する。与えられた接するスプラッシュと固定された順序 $q$ の部分線を用いて、則線面と横断線を用いて、一意的な順序 $q$ の部分平面を構成し、立方体拡大における射影的同型を用いて一意性を証明する。

ABSTRACT

Let B be a subplane of PG(2,q^3) of order q that is tangent to $\ell_\infty$. Then the tangent splash of B is defined to be the set of q^2+1 points of $\ell_\infty$ that lie on a line of B. In the Bruck-Bose representation of PG(2,q^3) in PG(6,q), we investigate the interaction between the ruled surface corresponding to B and the planes corresponding to the tangent splash of B. We then give a geometric construction of the unique order-$q$-subplane determined by a given tangent splash and a fixed order-$q$-subline.

研究の動機と目的

• 順序 $q$ の部分平面を表す則線面と、それに対応する接するスプラッシュの平面との間の相互作用を、$\mathrm{PG}(6,q)$ 内で特徴づけること。
• ブルーク＝ブース表現において、与えられた接するスプラッシュと固定された順序 $q$ の部分線から、一意的な順序 $q$ の部分平面を幾何的に構成すること。
• 共通の直接線と横断線を共有することによって、$\mathrm{PG}(6,q)$ 内の則線面と接する部分平面との間の対応関係を確立すること。
• 立方体拡大における射影的同型を用いて、構成された部分平面がスプラッシュと部分線によって一意に定まることを証明すること。

提案手法

• $\mathrm{PG}(2,q^3)$ を、$\mathrm{PG}(5,q)$ 内の正則 2-スプレッドを用いたブルーク＝ブース構成により、$\mathrm{PG}(6,q)$ 内に表現する。
• 順序 $q$ の部分平面 $\mathscr{B}$ を、ねじれ三次曲線と放物線を直接線とする、$\mathrm{PG}(6,q)$ 内の則線面 $\mathcal{V}$ に写像する。
• 接するスプラッシュ $\mathscr{S}_T$ を、スプレッド要素 $[T]$ と交わる $q^2+1$ 個の平面に、$\mathrm{PG}(6,q)$ 内で対応付ける。
• 正則スプレッドの横断線 $g$, $g^q$, $g^{q^2}$ を用いて、ねじれ三次曲線 $\mathcal{N}$ 上の点から放物線 $\mathcal{C}$ 上の点への射影的写像 $\phi$ を定義する。
• ねじれ三次曲線 $\mathcal{N}$ を放物線 $\mathcal{C}$ に写像する射影的写像 $\eta$ の像として則線面 $\mathcal{V}$ を構成し、横断線を保存する。
• 構成された則線面 $\mathcal{V}$ と、一意的な部分平面 $\mathscr{B}$ に対応する表面 $[\mathscr{B}]$ が同じ直接線と横断線を持つことから、両者が等しいことを証明し、一意性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接するスプラッシュに対応する平面は、$\mathrm{PG}(6,q)$ 内の接する順序 $q$ の部分平面を表す則線面とどのように相互作用するか？
• RQ2 $\mathrm{PG}(6,q)$ 内で、与えられた接するスプラッシュと固定された順序 $q$ の部分線から、幾何的構成により一意に順序 $q$ の部分平面を回復できるか？
• RQ3 正則 2-スプレッドの横断線は、接する部分平面の則線面を特徴づけるために果たす役割は何か？
• RQ4 $\mathrm{PG}(6,q)$ 内の則線面上の点の接空間は、$\mathrm{PG}(2,q^3)$ 内の接するスプラッシュとどのように関係するか？
• RQ5 スプラッシュと部分線から構成された部分平面の一意性を保証する射影的不変量は何か？

主な発見

• 接する順序 $q$ の部分平面 $\mathscr{B}$ の接するスプラッシュ $\mathscr{S}_T$ は、$\mathrm{PG}(6,q)$ 内で、スプレッド要素 $[T]$ と交わる $q^2+1$ 個の平面に対応する。
• 部分平面 $\mathscr{B}$ に対応する則線面 $\mathcal{V}$ は、$\mathrm{PG}(6,q)$ 内にあり、$\mathcal{N}=[\ell]$ として表されるねじれ三次曲線と放物線を直接線とし、$\mathcal{N}$ を放物線に写像する射影的写像 $\eta$ によって定まる。
• 構成された則線面 $\mathcal{V}$ と表面 $[\mathscr{B}]$ は、同じ放物線を直接線とし、ねじれ三次曲線を直接線とし、正則スプレッドの横断線を共有するため、等しい。
• 構成された順序 $q$ の部分平面は、スプラッシュ $\mathscr{S}_T$ と部分線 $\ell$ によって一意に定まる。これは、写像 $\eta$ の一意性によって証明される。
• $N_e$ から $C_e$ への写像 $\phi$ は行列変換によって誘導され、$\mathrm{PG}(6,q^3)$ 内の射影的写像へ拡張可能であり、これにより表面が適切に定義される。
• 証明により、構成された部分平面 $\pi$ が定理 1.1 における一意な部分平面 $\mathscr{B}$ と同一であることが確認され、幾何的構成が正当かつ一意であることが立証された。