[論文レビュー] The Tarski-Seidenberg Theorem with Quantifiers and Polynomial Vector Variational Inequalities

Vu Trung Hieu|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、量化子を伴うTarski-Seidenberg定理を用いて、多項式ベクトル変分不等式および最適化問題における解集合の半代数的構造と連結性を確立する。解集合が半代数的であることを証明し、Mangasarian-Fromovitz制約規準を仮定しないで、その連結成分の数に対する明示的な上界を提供する。Kim, Pham, TuyenおよびHuong, Yao, Yenによる先行研究を拡張する。

ABSTRACT

We study the connectedness structure of the proper Pareto solution sets, the Pareto solution sets, the weak Pareto solution sets of polynomial vector variational inequalities, as well as the connectedness structure of the efficient solution sets and the weakly efficient solution sets of polynomial vector optimization problems. By using the Tarski-Seidenberg Theorem with quantifiers, we are able to prove that these solution sets are semi-algebraic without imposing the Mangasarian-Fromovitz constraint qualification on the system of constraints. Furthermore, we obtain explicit upper bounds for the number of connected components of these solution sets. Thus, the present paper develops an idea suggested by D.S. Kim, T.S. Pham, and N.V. Tuyen [arXiv:1611.07108, 22 November 2016; Remark 3.2], and gives some refinements and extensions for the results of N.T.T. Huong, J.-C. Yao, and N.D. Yen [SIAM J. Optim. {\bf 26}, 1060--1071 (2016)].

研究の動機と目的

• 多項式ベクトル変分不等式および最適化問題における適切なパレート解、パレート解、弱パレート解、効率解、弱効率解集合の連結性構造を分析すること。
• Mangasarian-Fromovitz制約規準を仮定しないで、これらの解集合が半代数的であることを確立すること。
• これらの解集合の連結成分の数に対する明示的な上界を導出すること。
• Kim, Pham, Tuyen (2016)およびHuong, Yao, Yen (2016)による解集合の位相的構造に関する先行結果を拡張・精緻化すること。

提案手法

• 解集合を記述する論理式を半代数的集合に変換するために、量化子を伴うTarski-Seidenberg定理を適用する。
• 量化子除去技術を用いて、解集合を半代数的集合として特徴づけ、その位相的正則性を保証する。
• 多項式不等式および等式で定義される解集合の構造を解析するために代数幾何学的手法を用いる。
• 半代数的幾何学からの複雑性評価を用いて、連結成分の数に対する上界を導出する。
• 多項式系における量化子除去を活用することで、Mangasarian-Fromovitz制約規準に依存しない。
• 解集合が有限個の和集合および積集合に関して閉じており、半代数的構造が保たれることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mangasarian-Fromovitz制約規準を仮定しないで、多項式ベクトル変分不等式における解集合の連結性構造を特徴づけることができるか？
• RQ2 多項式ベクトル変分不等式における適切なパレート解、パレート解、弱パレート解集合は半代数的か？
• RQ3 これらの解集合の連結成分の数に対して、どのような明示的な上界を確立できるか？
• RQ4 多項式ベクトル最適化問題における解集合の位相的性質は、ベクトル変分不等式におけるそれらとどのように比較できるか？
• RQ5 量化子を伴うTarski-Seidenberg定理は、解集合構造に関する既存の結果をどの程度一般化するために用いることができるか？

主な発見

• 多項式ベクトル変分不等式の適切なパレート解集合は半代数的であり、その連結成分の数に対する明示的な上界を有する。
• 多項式ベクトル変分不等式のパレート解集合は半代数的であり、その連結成分の数は一様に有界である。
• 多項式ベクトル変分不等式の弱パレート解集合は半代数的であり、その連結成分の数は計算可能な式によって上から抑えられる。
• 多項式ベクトル最適化問題の効率解および弱効率解集合は半代数的であり、有限個の連結成分を持つ。
• Mangasarian-Fromovitz制約規準を必要とせず、先行の定理の適用範囲を広げている。
• 本稿は、多項式系における量化子除去を用いて、解集合の位相的複雑性を決定する構成的フレームワークを提供する。